值的优劣程度，需要计算判定系数，用符号r2表示。
1．总平方和的分解 因为，
??e Yi?Yii把上式恒等变化，得：
?Y?Y???Y??Y???Y?Y??
iiii?Y?Y?为Y的变异，?Y??Y?为由X的变异所解释的部分，?Y?Y??为未解释部分或残差的变异。
iiiii用小写字母表示均值的离差，得
?i?ei yi?y?，即真实Y的均值等于估计Y的均值，因此e?0，或写为 由于Y?Yyi?b2xi?ei
?i?b2xi。（注：y）
对上式两边同时平方再求和，经过简单数学变换，得
?y或等价地，
2i?i??ei ??y2222?yi?b22?xi??ei （3-12）
各种平方和定义如下：
2?y??y2i2=总平方和?TSS?，真实Y值围绕其均值Y的总变异。
i??Y）的变异，也称为回归平方和（由解释变量解=解释平方和?ESS?，估计的Y值围绕其均值（Y释的部分）。
?e2i=残差平方和?RSS?，即Y变异未被解释的部分。
则式（3-12）可简化为
TSS=ESS+RSS （3-13）
式（3-13）表明，Y值与其均值的总离差可以分解为两部分：一部分归于回归线，另一部分归于随机因素，因为并不是所有的真实观察值Y都落在拟合直线上，参见下图。
2．判定系数r2
如果选择的SRF很好地拟合了样本数据，则ESS远大于RSS。如果所有真实的Y值都落在拟合的SRF上，则ESS等于TSS，RSS为0；另一方面，如果SRF拟合得不好，则RSS远大于ESS。如果X不能解释Y的变异，则ESS为0，而RSS等于TSS。当然，这是极端情形。一般的情形是：ESS和RSS均不为零，如果ESS远大于RSS，则SRF在很大程度上解释了Y的变异；如果RSS远大于ESS，则SRF只能部分解释Y的变异。把式（3-13）的两边同除以TSS，得
1=定义，
ESSRSS （3-14） +TSSTSSESS （3-15） TSSr2=称r2为（样本）判定系数，通常用来度量回归线的拟合优度。用文字表述为，判定系数度量了回归模型对Y变异的解释比例（或百分比）。
r2有两个重要性质：
（1）非负性，因为ESS与RSS都是平方和，都是非负的；
（2）0?r2?1，因为部分?ESS?不可能大于整体?TSS?。若r?1，则表示“完全拟合”，即线性模型完全
2解释Y的变异。若r2?0，则表示Y与X之间无任何关系。
3．r2的计算公式
根据式（3-15），式（3-14）可改写为
RSS2?ei1?r??r? 2TSS?yi22因此，
r24．判定系数r与相关系数r
2e??1??y22ii
样本相关系数r度量了两个变量X与Y之间的线性相关程度，r可写为：
r???Xi?????xy?X?X??Y?Y??x?yi?XYi?Y2iii222
ii相关系数也能够通过判定系数r计算得到
2r??r2 即在双变量回归模型中，相关系数的平方等于判定系数。
七、回归分析结果的报告
回归分析结果的报告有多种形式。在没有使用统计软件之前，回归结果的报告通常采用下面的形式：
??B?BXYi12ise?????t?????p?????r2???df???
第一行括号内的数值表示估计回归系数的标准误，第二行括号内的数值表示在零假设下（每个回归系数的真实值为零）估计的t值（即估计的系数与其标准误之比），第三行括号内的数值表示获得t值的p值。一般情况下，如果没有设定特殊的零假设，习惯地规定零假设为：总体参数为零。如果拒绝零假设（即检验统计量是显著的），则表示真实的总体参数值不为零。
用上述形式报告回归结果的一个优点是，可以一目了然地看到每个估计系数是否是统计显著的，即是否显著不为零。通过列出的p值能够确定t值的精确显著水平。
注：当判定拒绝或不拒绝零假设时，需要预先确定一个可以接受的p值水平（即临界p值），然后把计算的p值与临界p值进行比较。如果计算的p值小于临界p值，则拒绝原假设，如果计算的p值大于临界p值，则不能拒绝零假设。
八、正态性检验
双变量回归模型的经典假定是假定误差项ui服从正态分布，但是由于不能直接观察真实的误差项ui，因此需要用ui的替代量ei去检验ui的正态性。常用的检验方法如下：
1．残差直方图
残差直方图是用于获知随机变量概率密度函数（PDF）形状的一种简单图形工具。在横轴上，把变量值（例如OLS残差）划分为若干适当的区间，在每一个区间，建立高度与观察值个数（即频率）相一致的长方形。
如果把钟形正态曲线叠加在直方图上，就会对变量的概率分布有一直观了解。在实践中，常常通过回归残差的直方图粗略地了解其概率分布的形状。
2．正态概率图
另一种研究随机变量PDF的简单图形工具是正态概率图，这需要在专用的正态概率纸上作图。在横轴上（X轴）标出变量值（例如OLS残差值ei），在纵轴上（Y轴）标出如果服从正态分布变量所对应的期望值。因此，如果变量来自正态总体，则正态概率近似一条直线。 3．雅克-贝拉检验
常用的正态性检验方法是雅克-贝拉检验，它是建立在OLS残差基础上的一种渐近（或大样本）检验方法。首先计算出随机变量（例如OLS残差）的偏度系数S（PDF对称性的度量）和峰度系数K（PDF“胖瘦”的度量）。对于正态分布变量，偏度为0，峰度为3。
雅克和贝拉建立了如下检验统计量：
n?2?K?3?JB??S?6?4?其中，n为样本容量，S为偏度，K为峰度。
2?? ??2雅克和贝拉证明了：在正态性假设下，上式给出的JB统计量渐近服从自由度为2的?分布，用符号表示为
2 JBasy~?(2)其中，asy表示“渐近地”。
从统计量的表达式可以看出，如果变量服从正态分布，则S为0，?K?3?为0，因而JB统计量为零。但是如果变量不服从正态分布，则JB统计量为一个逐渐增大值。根据?分布表很容易计算出JB统计量的值。如果
2
在选定的显著水平下，计算的?值超过临界的?值，则拒绝正态分布的零假设；如果没有超过临界的?值，则不能拒绝零假设。当然，如果能够计算出?值的p值，则可以得知获此?值的精确概率。
九、预测
回归分析的目的之一是根据解释变量的值预测因变量的均值。给定样本观测值以外的一个样本X0，可以根
22222?，但对任一给定样本，Y?不可能等于其真实均值，因此需要求出真实据估计的回归方程得出预测值的估计值Y00?的置信区间就需要求出Y?的抽样分布。在CLRM假定下，可以证明Y?服从正态分均值预测值的一个区间。求Y000布，其均值、方差分别为
E?YX0??B1?B2X0?X0?X2?1?VarY0????nxi2???????2?
????其中，X——X的样本均值；
?x2i——X与X的离差平方和；
?2——ui的方差；
n——样本容量。
?服从自由度为?n?2?的t分布。因此，对于?2代替，则Y由于实践中?2是未知的，如果用其无偏估计量?0给定的X0，能够利用t分布建立一个Y的真实（总体）均值100?1???%的置信区间：
??B?BX?b?bX?tseY????1??? P?b1?b2X0?t?/2seY0120120?/20??
3.2 课后习题详解
一、问 题
1．解释概念
（1）最小二乘 （4）估计量的标准误 （7）自相关
????
（2）OLS估计量 （5）同方差性 （3）估计量的方差 （6）异方差性
（9）解释平方和（ESS） （12）估计值的标准误
（8）总平方和（TSS） （11）判定系数r
2（10）残差平方和（RSS）
（13）BLUE （14）显著性检验 （15）t检验 （16）单边检验 （17）双边检验 （18）统计显著 答：（1）在回归模型中，最小二乘法就是以残差（被解释变量的实际值同拟合值之间的差）平方和最小的原则对回归模型中的系数进行估计的方法。
（2）运用最小二乘法法计算出的总体回归参数的估计量。
（3）回归参数估计量是一个随机变量，其方差衡量了估计量同估计量均值的偏离程度。 （4）估计量方差的（正）平方根。 （5）方差相同。 （6）方差不同。