18mRθ
题2.15图 题2.16图
?解：压力中心距液面为zC?9.528.5?2155面m积，曲.面
A??R4b?8.5??5?33.4m2 4总作用力F在x，z向的分力Fx、Fz为
Fx?Ax?dFx??Ax6zdA??zA??zAsin45?3.59?10N ?xCxCFz??dFz???zdAx??zCAz???zCA(1?2/2)??1.49?106N
AzAz总压力为F?Fx2?Fz2?3.89?106N，与x轴的夹角为??arctanFZ?22.54 FX2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O作等速旋转。当露出桶底时，ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。圆筒未转动时，筒内水面高度为h。当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至Ho，贴壁液面上升至H高度。容器直径为D。）
ωHhH0OD
题2.17图
解：由回转抛物体的体积恰好是高度为h的圆柱体体积之半得：
?R22所以??H??R2?2R22?2g
12gH R9
第3章 流体运动学
3.1 已知流体的速度分布为ux?1?y；uy?t，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。
解：（1）将ux?1?y，uy?t带入流线微分方程
dxdy?得 uxuydxdy? 1?yty2?c t被看成常数，则积分上式得xt?y?2y2?0 t=1时过（0,0）点的流线为x?y?2（2）将ux?1?y，uy?t带入迹线微分方程
dxdy??dt得 uxuydxdy??dt 1?ytt2?c2 解这个微分方程得迹的参数方程：x?(1?y)t?c1，y?2将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c1?0，c2?0。 带入上式并消去t可得迹线方程为：x?(1?y)2y
3.2 给出流速场为u?(6?xy?t)i?(xy?10t)j?25k，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。
解：根据加速度的定义可知：
222a?du?udx?udy?udz?u?u?u?u?u?????ux?uy?uz?
?x?y?z?tdt?xdt?ydt?zdt?tux?6?x2y?t2，uy??(xy2?10t)，uz?25
a在x,y,z向分速度如下：
ax?dux?ux?u?u?u?ux?xuy?xuz?x?2xy(6?x2y?t2)?x2(xy2?10t)?2t dt?x?y?z?t 10
ay?duydt??uy?xux??uy?yuy??uy?zuz??uy?t??y2(6?x2y?t2)?2xy(xy2?10t)?10az?duz?uz?u?u?u?ux?zuy?zuz?z?0 dt?x?y?z?tt=1时，点（3,0,2）的加速度为：a??88i?10j
3.3 已知流场的速度为ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。
解：将ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz带入流线微分方程
dxdydz??得 uxuyuz?dx??dxdydz2kx???即?2kx2ky?4kz?dy???2kydz?4kz dz?4kz2??xz?c1k被看成常数，则积分上式得?2，将点（1，0，1）代入得c1?1,c2?0
??yz?c2?x2z?1?于是流线方程为?2
??yz?03.4 已知流场的速度为ux?1?At，uy?2x，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。
解：将ux?1?At，uy?2x带入流线微分方程
dxdy?得 uxuydxdy ?1?At2xt被看成常数，则积分上式得x?(1?At)y?c
2t=to时通过（xo,yo）点，得c?x0?(1?At0)y0 22于是流线方程为x?(1?At)y?x0?(1?At0)y0
23.5 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？ （1）ux??ky，uy?kx，uz?0。 （2）ux?
?yxu?，，uz?0。 yx2?y2x2?y211
（3）ur?k/r（k是不为零的常数），uθ?0。 （4）ur?0，uθ?k/r（k是不为零的常数）。
解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体??const，
?ux?uy?uz???divu???u?0时，满足连续方程 在直角坐标系中当?x?y?z（1）因
?ux?uy?uz???0，满足 ?x?y?z?ux?uy?uz?2xy?2xy???2??0，满足 （2）因?x?y?z(x?y2)2(x2?y2)2在圆柱坐标系中当
ur?ur?r?ru?u（4）因r?rr?r（3）因
ur?ur1?uθ?uz????0时，满足连续方程 r?rr???z1?uθ?uz1kk?????2?0?0，满足 r???zrrr1?uθ?uz1???0?0??0?0?0，满足 r???zr2233.6 三元不可压缩流场中，已知ux?x?yz，uy??(xy?yz?zx)，且已知z?0处
uz?0，试求流场中的uz表达式。
?ux?uy?uz???0得 解：由不可压缩流场中连续方程?x?y?z?uzdu??2x?x?z?z ?zdzz2?c，由z?0处uz?0得c=0 积分得uz??xz?2z2所以流场中的uz表达式为uz??xz?
23.7 二元流场中已知圆周方向的分速度为uθ??csin?，试求径向分速度ur与合速度2ru0。
解：对于平面二维流场，uz?0，连续方程为
ur?ur1?uθ???0，代入解方程 r?rr??22223.8 三元不可压缩流场中ux?x?z?5，uy?y?z?3，且已知z?0处uz?0，
试求流场中的uz表达式，并检验是否无旋？
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