江西财经大学学士学位毕业论文
该证券组合在未来的24小时内组合价值的最大损失不会超过10万元。 (1) 一般分布下的VAR计算
考虑一个证券组合，假定P0为该投资组合的初始价值，R是持有期内的收益率，则该组合的期末价值为P?P0?1?R?。如果收益率R的期望值为?，波动性为?，且在给定置信水平1??下投资组合的最低价值为
P??P01?R?，则根据VAR的定义：在一定置信水平下，证券组合在未
来特定的一段时间内的最大可能损失，那么VAR可表示为：
???E?P??P??P0?1????P01?R???P0R??? (5.2) VaR从以上定义可以看出，计算VAR即相当于计算组合最小价值P?或最低收益率R?。考虑证券组合未来收益率所服从的随机过程，假定其未来收益率的概率密度函数为f?p?，则对于某一置信水平1?? 下投资组合的最低值P?，有：
????1?????f?p?dp (5.3)
P?或： ???f?p?dp (4.4)
??P?无论分布是离散的还是连续的，厚尾还是瘦尾，这种表达方式对于任何分布都是有效的。
(2) 正态分布下的VAR计算
如果投资组合的收益率分布为正态分布，记标准正态分布的密度函数为????。由于R?一般为负值，故可记为?R?，由此有：
?????f?p?dp????f???d?????????d? (5.5)
其中??1???为标准正态分布?分位数，用公式表示：
p??R?????1?????R???? (5.6)
在标准正态分布下，置信水平与分位数一一对应。当给定一个置信水平如95 %，则对应??1?0.95??1.65。于是就可以计算出相应的最小回报R?和VAR。根据(5.6)，最小回报R?可表示为：
R?????1?????? (5.7)
如果以上计算中的参数?和?都是基于一天的时间间隔上计算出来
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的，而要计算持有期的长度为?t的VAR，那么，根据t规则，假设连续时间区间的收益率不相关，则??t???t，从而我们可以得到时间间隔为
?t的VAR为：
VaR??P0R????P0??1?????t (5.8)
这种方法可以推广到其它累积概率函数，其中所有的不确定性都体现在?上，其他分布会得到不同的??1???值。
??5.3 VAR的三个要素
从VAR方法的定义及一般计算方法中，可以看出VAR方法有三个要素。
(1) 持有期间
它是对给定持有期限的回报的波动性和关联性考察的整体时间长度，是计算VAR的时间范围。由于波动性与时间长度成正相关，所以VAR随持有期的增加而增加。通常的持有期是一天或一个月，在1997年底生效的巴赛尔委员会的资本充足性条款中，持有期为两个星期(10天)。为克服市场经济周期性变化的影响，持有期间的历史数据越长越好，但是，时间越长，市场结构性变化的可能性越大，历史数据因而越难以反映现实和未来的情况。选择较短的持有期还有如下好处：
① 得到大量样本数据的可能性越大；
② 更容易满足在VAR计算中组合保持不变的假设；
③ 实际回报越接近于正态分布，由于正态分布在统计上有诸多优良特性，使得正态分布下VAR的计算有很多便利。
(2) 置信度
置信度的选择体现了金融机构对极端事件风险的厌恶程度。选择越大的置信度计算出来的VAR值越大，表明风险厌恶程度越高，则需要准备更加充足的风险资本来补偿额外损失。同时金融监管当局为保持金融系统的稳定性，会要求金融机构设置较高的置信水平。如巴赛尔委员会1997年底生效的资本充足性条款中要求的置信度为99%。
(3) 收益率分布特征
这是VAR方法中最重要的因素，是指投资组合在既定的持有期限内的回报的概率分布，即概率密度函数。由于正态分布在统计上有诸多优良特性，实际中对市场因子的分布多采用对数正态分布的形式，如著名的Risk Metrics模型就采用这种分布。然而金融市场的大量实证结果表明，
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对数正态模型并不完全与历史回报数据性质相一致，实际的对数回报具有明显的厚尾性。因此，必须用其它具有厚尾性质的分布来刻画。常用的厚尾分布有：t分布、广义误差分布(GED)等。
5.4 VAR的计算方法
5.4.1 投资组合的VAR度量
(1) 基本定义
投资组合就是对一定数量的风险因素持有量的组合。当把它进行分解后，投资组合的收益就是各种基础资产收益的线形组合，每种资产的权重由最初对该种资产的投资比例决定。于是投资组合的VAR可以由其包含的各种有价证券的风险组合得出：
从时间t到t+1期间投资组合的收益为⑤： Rp,t?1?N?wRii?1i,t?1 (5.9)
其中，N表示资产数量，Ri,t?1表示资产i的收益率，wi为权重，且其和为1。
为了简化表达式，投资组合收益率可用矩阵符号的形式表示，用一个向量代替一连串的数学：
?R1??R?Rp?w1R1?w2R2???wNRN??w1w2?wN??2??w?R (5.10)
??????RN?其中：w?代表权重系数向量的转置，R代表单个资产收益纵向量。 可得出投资组合的预期收益率为：
E?RP???P?方差为：
N?w?ii?1Ni (5.11)
V?RP?????w???2P2i2ii?1⑤
NNi?1i?1,j?i?ww?ijNij??w??2??wiwj?ij (5.12)
2i2ii?1i?1j?iNN 菲利普·乔瑞（Philippe Jorion），风险价值VAR，北京：第二版北京中信出版社，
2005，135
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这个表达式不仅描述了单个证券的风险?i2，也描述了所有的协方差，这些协方差加起来总共有N?N?1?2 个不同的项。
随着资产数量的增加，把所有的协方差项都写下来变得非常困难，如果用矩阵的形式就很容易了。方差可表示为：
??11?12?13??1N?2 ?p??w1w2?wN????????N1?N2?N3??N?令
??w1???????? (5.13) ?????wN??表示协方差矩阵，投资组合收益率的方差可简化为：
2 ?p?w??w (5.14)
到现在为止，我们还没有讨论投资组合收益率的分布问题，最后把投资组合的方差转化为VAR的衡量值。在德尔塔-正态模型中，所有单个证券的收益率都被假设为正态分布，所以投资组合的收益率也为正态分布的，将置信水平转化为正态标准差分位数??1???，这样观测一个损失大于
???1???的概率就是1??。令W为初始投资组合的价值，则投资组合的
VAR为：
投资组合的VAR?VARP???1????PW???1???x?① 用相关性低的资产进行组合； ② 增加资产种类的数量。
如果把投资组合方差用VAR表示出来，需要了解投资组合的收益分布。在“△正态”模型中假定个资产的收益是正态分布的。由于投资组合是随机变量线性组合的结果，那么假定投资组合收益也是正态分布的就是很自然的。在给定可信度的情况下，投资组合的VAR???1????p。
(2) 增量的VAR
计算VAR十分重要的问题，就是了解哪种投资组合带来的风险最大。掌握了这个方法，就能通过调整个资产的份额进行有效的修正VAR值。要实现这个目标，仅有单个资产是不够的，就单个资产而言，波动率衡量该种资产收益的不确定性，当该资产成为组合中的一部分时，他将对投资组合的风险产生影响。
假定一个投资组合是由N?1个有价证券组成的，分别标为
?x (5.15)
从而得出要降低投资组合的风险可以通过两种途径：
j?1,2,?,N?1。向该组合中增加一种证券i，得到一个新组合，增加一种
资产引起的边际风险。可以通过方差方程V?RP?对wi求微分得到。
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