此公式已为Skolem标准型。
最后消去全称量词得子句集：
S={P(x, f(x))∨?Q(x, f(x))∨R(x, f(x))}
(4) 对谓词(?x) (?y) (?z)(P(x, y)→Q(x, y)∨R(x, z))，先消去连接词“→”得：
(?x) (?y) (?z)(?P(x, y)∨Q(x, y)∨R(x, z)) 再消去存在量词，即用Skolem函数f(x)替换y得：
(?x) (?y) (?P(x, y)∨Q(x, y)∨R(x, f(x,y)))
此公式已为Skolem标准型。
最后消去全称量词得子句集：
S={?P(x, y)∨Q(x, y)∨R(x, f(x,y))}
3-13 判断下列子句集中哪些是不可满足的：
(1) {?P∨Q, ?Q, P, ?P}
(2) { P∨Q , ?P∨Q, P∨?Q, ?P∨?Q } (3) { P(y)∨Q(y) , ?P(f(x))∨R(a)}
(4) {?P(x)∨Q(x) , ?P(y)∨R(y), P(a), S(a), ?S(z)∨?R(z)} (5) {?P(x)∨Q(f(x),a) , ?P(h(y))∨Q(f(h(y)), a)∨?P(z)} (6) {P(x)∨Q(x)∨R(x) , ?P(y)∨R(y), ?Q(a), ?R(b)}
解：(1) 不可满足，其归结过程为：
?P∨Q ?Q
?P P
NIL
(2) 不可满足，其归结过程为：
P∨Q ?P∨Q P∨?Q ?P∨?Q
?Q Q
NIL
(3) 不是不可满足的，原因是不能由它导出空子句。 (4) 不可满足，其归结过程略
(5) 不是不可满足的，原因是不能由它导出空子句。 (6) 不可满足，其归结过程略
3.14 对下列各题分别证明G是否为F1,F2,…,Fn的逻辑结论：
(1) F: (?x)(?y)(P(x, y)
G: (?y)(?x)(P(x, y)
(2) F: (?x)(P(x)∧(Q(a)∨Q(b)))
G: (?x) (P(x)∧Q(x))
(3) F: (?x)(?y)(P(f(x))∧(Q(f(y)))
G: P(f(a))∧P(y)∧Q(y)
(4) F1: (?x)(P(x)→(?y)(Q(y)→?L(x.y)))
F2: (?x) (P(x)∧(?y)(R(y)→L(x.y))) G: (?x)(R(x)→?Q(x))
(5) F1: (?x)(P(x)→(Q(x)∧R(x)))
F2: (?x) (P(x)∧S(x)) G: (?x) (S(x)∧R(x))
解：(1) 先将F和?G化成子句集： S={P(a,b), ?P(x,b)} 再对S进行归结：
P(a,b) ?P(x,b)
{a/x} NIL
所以，G是F的逻辑结论
(2) 先将F和?G化成子句集
由F得：S1={P(x)，(Q(a)∨Q(b))} 由于?G为：? (?x) (P(x)∧Q(x))，即
(?x) (? P(x)∨? Q(x))，
可得： S2={? P(x)∨? Q(x)}
因此，扩充的子句集为：
S={ P(x)，(Q(a)∨Q(b))，? P(x)∨? Q(x)}
再对S进行归结：
Q(a)∨Q(b)
{a/b}
? P(x)∨? Q(a)
{a/x}
P(x) ? P(a)
{a/x} NIL
所以，G是F的逻辑结论
同理可求得(3)、(4)和(5)，其求解过程略。
3.15 设已知：
(1) 如果x是y的父亲，y是z的父亲，则x是z的祖父； (2) 每个人都有一个父亲。
使用归结演绎推理证明：对于某人u，一定存在一个人v，v是u的祖父。
解：先定义谓词
F(x,y)：x是y的父亲 GF(x,z)：x是z的祖父 P(x)：x是一个人
再用谓词把问题描述出来：
已知F1：(?x) (?y) (?z)( F(x,y)∧F(y,z))→GF(x,z)) F2：(?y)(P(x)→F(x,y))
求证结论G：(?u) (?v)( P(u)→GF(v,u)) 然后再将F1，F2和?G化成子句集： ① ?F(x,y)∨?F(y,z)∨GF(x,z)
② ?P(r)∨F(s,r)
③ P(u)
④ ?GF(v,u))
对上述扩充的子句集，其归结推理过程如下：
?F(x,y)∨?F(y,z)∨GF(x,z) ?GF(v,u)
{x/v,z/u}
?F(x,y)∨?F(y,z) ?P(r)∨F(s,r)
{x/s,y/r} ?F(y,z)∨?P(y) ?P(r)∨F(s,r)
{y/s,z/r} ?P(y)∨?P(z
{y/z} P(u) ?P(y)
{y/u} NIL
由于导出了空子句，故结论得证。
3.16 假设张被盗，公安局派出5个人去调查。案情分析时，贞察员A说：“赵与钱中至少有一个人作案”，贞察员B说：“钱与孙中至少有一个人作案”，贞察员C说：“孙与李中至少有一个人作案”，贞察员D说：“赵与孙中至少有一个人与此案无关”，贞察员E说：“钱与李中至少有一个人与此案无关”。如果这5个侦察员的话都是可信的，使用归结演绎推理求出谁是盗窃犯。
解：(1) 先定义谓词和常量
设C(x)表示x作案，Z表示赵，Q表示钱，S表示孙，L表示李 (2) 将已知事实用谓词公式表示出来
赵与钱中至少有一个人作案：C(Z)∨C(Q) 钱与孙中至少有一个人作案：C(Q)∨C(S) 孙与李中至少有一个人作案：C(S)∨C(L)
赵与孙中至少有一个人与此案无关：? (C (Z)∧C(S))，即 ?C (Z) ∨?C(S)
钱与李中至少有一个人与此案无关：? (C (Q)∧C(L))，即 ?C (Q) ∨?C(L) (3) 将所要求的问题用谓词公式表示出来，并与其否定取析取。 设作案者为u，则要求的结论是C(u)。将其与其否)取析取，得：
? C(u) ∨C(u)
(4) 对上述扩充的子句集，按归结原理进行归结，其修改的证明树如下：
C(Z)∨C(Q) ?C (Z) ∨?C(S)
C(Q)∨?C(S) C(Q)∨C(S)
?C(u)∨C(uC(Q) {Q/u} C(Q)
因此，钱是盗窃犯。实际上，本案的盗窃犯不止一人。根据归结原理还可以得出：
C(S)∨C(L) ?C (Q) ∨?C(L)
C(S)∨?C(Q) C(Q)∨C(S)
?C(u)∨C(uC(S) {S/u} C(S)
因此，孙也是盗窃犯。
3.18 设有子句集：
{P(x)∨Q(a, b), P(a)∨?Q(a, b), ?Q(a, f(a)), ?P(x)∨Q(x, b)} 分别用各种归结策略求出其归结式。
解：支持集策略不可用，原因是没有指明哪个子句是由目标公式的否定化简来的。 删除策略不可用，原因是子句集中没有没有重言式和具有包孕关系的子句。 单文字子句策略的归结过程如下：
?Q(a, f(a)) P(x)∨Q(a, b)
{b/f(a)}
P(a) ?P(x)∨Q(x, b)