同，则其运动轨迹半径不同，处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，本题特别需要注意的是有两种临界状态。
例题12．排球场总长18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上正对网前跳起将球水平击出．（球飞行中阻力不计）
（1）设击球点在3m线正上方高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界；
（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．（g=10m/s2） 解析：（1）排球在3米线上方距地面2.5m处被水平击出后做平抛运动，若正好压在端 线上，则在空中飞行时间t1?越界的临界击球速度值为
2?2.52?s，所以排球不g2v1?122?0.510?122m/s。如果排球恰好不触网，则在空中飞行时间t2??s，所t1g103?310m/s。综上击球的速度在t2以排球不触网的临界击球速度值为v2?310m/s?122m/s才能使球既不触网也不出界；
（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值（设在3m线正上方距离网顶部高度L处），水平击球成功的“速度上下限范围将缩窄至零”，即无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界。根据上述（1）中的计算可知，排球被水平击出后做平抛运动，若正好压在端线上，则在空中飞行时间t1/?2?(2?L) ，排球不越界的临界击球速度值为
gv1/?12g2L/ ；如果排球恰好不触网，则在空中飞行时间，所以排球?12t?2/t12(2?L)g3g。令“速度上下限范围缩窄至零”，即?3/t22L不触网的临界击球速度值为v2/?v1/?12gg亦即16L=2+L 所以L=2/15≈0.13米 即在3米线上方水平?v2/?32(2?L)2L击球时若击球点高度低于2.13米不是触网便是出界。
例题13．如图在光滑的水平台上静止着一块长50厘米，质量为1千克的木板，板的左端静止着一块质量为1千克的小铜块(可视为质点)，一颗质量为10克的子弹以200米/秒的速度射向铜块，碰后以100米/秒速度弹回。问铜块和木板间的摩擦系数至少是多少时铜块才不会从板的右端滑落，（g?10ms2）
解法一：子弹与铜块碰撞过程总动量守恒，根据动量守恒定律有
0.01?200=0.01?（-100）+1?v铜 解得v铜=3m
s同理可求得不滑落时铜块与木板最终的共同速度为vt?依能量转化关系有
1?3?1.5m
s1?111?1?32=?（1+1）?1.52+??1?g?0.5 解得 ?=0.4 522s解法二：以木板为参照物铜块的初速度为v0?3m 临界末速度vt?0 位移s=0.5m 加速度a??(?g??m铜gm板（-2?g?0.5） 解得?=0.45 )=-2?g 所以02-32=2例题14．如图所示，将一个质量为m的小球先后栓接在轻质细绳和细杆
的一端，绳和杆子的长度相同，为使小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，经最低点时绳子的拉力T1为 ，杆子的拉力T2为 。 解析：轻绳端连物在竖直平面上做圆周运动到达圆周最高点的速度v绳高=rg v杆高=0 依机械能守恒定律可以求得在圆周最低点响应速度分别为
v低绳=5rg v低杆=4rg 因为小球在圆周最低点时超重 所以 T1?mg?m5rg4rg?6mg T2?mg?m?5mg rr22例题15． 将物体以一定初速度竖直向上抛出，已知该物体除受重力外还受到一个向右的水平
恒力作用，若选抛点为原点，向右和向上分别为x、y轴正方向，已知其运动轨迹的最高点M横纵坐标分别为3和2，若已知重力加速度g=10ms2
求①落回到x轴的N点时的横坐标②落回到N点时的速度大小。
解析：①设上升、下落段历时分别为t1、t2，分析y方向的竖直上抛分运动知t1=t2=v0 g又因为x方向的分运动是初速为零的匀加速直线运动，所以前后两端位移之比为x1:x2?1:3 所以x2?3x1?9 即 xN?12
②落至N点时竖直分速度 vNy?v 010?2?40?2gyM?2??1水平分速度 vNx?ax?(1t?2t)?a t x2而3?12axt1 2
2?3v13gxt12 两式相比知ax?g 所以 vNx?g?20?36g
2g22所以落至N点的速度 vN?vNx2?vNx2?40g?20m
s0例题16-1．如图所示，一个质量为m的小球，用两根等长的细绳1、2连接在车厢的A，C两点，已知两绳拉直时，与车厢前壁的夹角均为45，试求当车厢以多大加速度向左做匀加速直线运动时连接于C点的细绳2恰好被拉直。
解析：连接于C点的细绳2恰好被拉直时，其张力为零（等效于剪去该绳2）则因为小球在
00竖直方向的平衡有mg?TAcos45，在水平方向同于车厢加速度（设为a）则TAsin45=ma
联立解得车厢加速度a?g
A a
C
例题16-2．如图所示，当AC、BC两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，若要使小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动将两绳都拉直，小球最小角速度为多少（已知AC绳子长度为L）？
解析：设临界角速度为?，即角速度小于该值时BC绳子将松弛，故以该临界角速度运动时，等效于剪掉BC绳子，且AC绳子与转轴夹角仍保持30，设此时AC绳子张力为TAC则因小
00在水平方向做匀速圆周运动有球在竖直方向平衡有mg?TACcos3，
00m?2?Lsin3?0TACsi 0n 3 0联立解得?=23g 3L例题17． 已知力F的一个分力F1的方向及另一个分力F2的大小，求F1的大小，并就解的情况加以讨论。
解析：此类分解问题因已知分力F2的大小不同将有以下四种不同的结果：
①当
形，故无解。 ②当③当个解。 ④当
时，以F2为半径的圆与F1方向线没有交点（相离），不能构成一个平行四边
时，以F2为半径的圆与F1方向线有一个交点（相切），故此情形有唯一解。
时，以F2为半径的圆与F1方向线有两个交点（相割），故此情形有两
时，以F2为半径的圆与F1方向线有一个交点，此情形有唯一解。
例题18-1．如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑的斜面上，斜面倾角为?，在斜面上有
一个光滑的薄木板挡住球，使之处于静止状态，今使木板与斜面的夹角?从很小开始缓慢增大，问在此过程中，球对木板和球对斜面的压力大小如何变化？ 解法一（函数计算法）：
球体受力如下图所示。在木板与斜面的夹角?从很小开始缓慢增大过程中可认为球体总是处
0于平衡状态，依据平衡条件，在水平方向有 N1sin??N2cos(90????)…①
在竖直方向有 N1cos??G?N2sin(90????) …… ② ①②式联立解得
N2=sin?G sin?
N1=G00 显然随?在0-180范围的增大ctg(???)单调减小，故N1cos??sin?ctg(???)0n最小。 单调减小。而N2随?角度的增大先减后增，即?=90时 N2=Gsi?解法二（矢量图解法）：
C
对平衡状态的球体进行受力分析如图所示，三个力的合力为零.其中重力
B A O G 图17-2
D