当vA?vB时，A、B相距最近。若此时A、B间距离x?2r，则A、B不发生接触（图12-3）。上述状态即为所寻找的临界状态，vA?vB时x?2r则为临界条件。 两球不接触的条件是：vA?vB （1）
L?SB?SA2r （2）
其中vA、vB为两球间距离最小时，A、B球的速度；SA、SB 为两球间距离从L变至最小的过程中，A、B球通过的路程。 设
v0为A球的初速度，
对于A+B系统由动量守恒定律得
mv0?mvA?2mvB0 （3）
1212mvA?mv0 （4） 22102对于B球由动能定律得 F?SBcos0?(2m)vB （5）
2对于A球由动能定律得F?SAcos180?联立解得：
v0?3F(L?2r)m
评析 本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为vA?vB且此时x?2r 例题6．（09年江苏卷）如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、
放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ）
A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大 B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大 C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大 D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
解析：分析本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题
更加简单。A、B物块在水平方向受力如右图上下，
F1为弹簧的拉力。 A从静止开始向右做加速度减小的变加速直线运动，B从静止开始向右做加速度增大的变加速直线运动，当两物块加速度相等时它们的速度差最大（因为该阶段A速度的增加值总是大于B速度的增加值），————选B.
该过程可视为B板后沿(质点)追击A物块，因为前面A物体的速度总是大于后面B物体的速度，所以其间距离不断增大（同一时间内A物的位移总是大于B物的位移），当两物体等速时其间距离最大即弹簧伸长量最大，所以弹簧的弹性势能最大。————选D
据前分析该过程A物体始终做加速度减小的加速运动（B物也始终加速但加速度增大），这种运动一直持续到A物体加速度减为零（此时B物体加速度增至F/m），即A物体速度单调增加，故末时刻速度最大。————选C.
又因外力F不断做正功，所以系统机械能不断增大，末时刻机械能最大。————排除A. 两物体的速度时间图像如下： t1时刻aA?aB?F t2时刻vA?vB且A物加速度=0 2m
例题7-1．消防队员为了缩短下楼时间，往往抱着直立于地面的竖直滑杆直接滑下（设滑杆在水平方向不能移动），假设一名质量为60kg的消防队员从离地面18m的七楼抱着竖直的滑杆以最短的时间滑下。已知消防队员的手和脚对杆之间的压力最大为1800N，手和脚与滑杆之间动摩擦因数为0.5，消防队员着地的速度不能大于6m/s，当地的重力加速度g?10m（1）消防队员下滑的最短时间？ （2）消防队员下滑过程中最大速度？
解法一（基本不等式极值法）：设消防队员先做自由落体运动1，其次匀速运动
s2求：
tt2（计算知人
与滑杆之间最大静摩擦力为900N大于重力600N），最后匀减速运动3，到达地面时恰好减速至
tv3=6m/s，则下滑时间
T=t1?t2?t3……………………………………………①
12gt?6gt1+gt1?t2?1?t322且18=…………………………………..②
又依牛顿第二定律知消防队员减速下滑的加速度最大值为
a??Nm?mgm?0.5?1800?60?10mm22?5ss 60a?gt1?6gt?6gt?65?1t3?1t3所以t3即5…..③
而依运动学公式知
108?75t1210t1?63546T=t1?t2?t3=t1???t1??50t15225t15
将②③式代入①式并整理有3t12显然因为
54025t1，
0354354t1?t1=225t1为定值，所以当225t1即t1?1.2s时 且
3546Tmin??1.2s?s?s?2.4s225?1.25
即消防队员下滑的最短时间为2.4 s，即加速1.2s、匀速0s、减速1.2s.
vmax?gt1?10?1.2m?12mss （2）消防队员下滑的最大速度即自由落体段下滑的末速度
解法二（图像法）如果消防队员首先自由落体至某速度vmax，然后立即以最大加速度
a??Nm?mgm?0.5?1800?60?10mm22?5ss匀减速至v=6m时位移恰好为18m，603s这种临界状态的v-t图像如下图中实线OAB所示，其与横轴所围成的图形“面积”恰好为18m，
显然其他任意一个含有匀速运动段的图形若面积与其相等(例如OPQM)，则底边长度必大于24s.所以先加速后减速中间无匀速运动段，历时最短。
例题7-2．（06年上海卷） (辨析题):要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道，求摩托车在直道上行驶所用的最短时间。有关数据见表1。
某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静 止加速到最大速度v1=40m/s，然后再减速到v2=20m/s，
启动加速度a1 制动加速度a2 4m8ms2 s2直道最大速度v1 40m s弯道最大速度v2 20m s直道长度s 218m t1=v1v?v?...t2?12?...；t?t1?t2 a1a2你认为这位同学的解法是否合理?若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果。
解析：上述解法不合理，因为加速时间t1=v140?=10s， a14减速时间t2?v1?v240-20?s=2.5s a28
121a1t1??4?102m?200m， 22v?v240?20减速距离s2?1?t2??2.5m?75m 因为s1?s2?275m218m，故不合理。
22应先以a1?4m2加速到最大速度vm（并非40），又以加速度a2?8m2减速到v2?20msss所以加速距离s1?vm2恰完成218m的直道距离行驶，即为最短时间。所以加速距离s1'?，减速距离
2a1vm2?v22 s2'?2a2'''令s1?s2?218，解得 vm?36m 所以加速时间t1?svm36?s?9s， a14减速时间t2?'vm?v236?20?s?2s 故最短时间t?t1'?t2'?9s?2s?11s a28例题7-3．（2013年宝鸡市一检试题）如图所示，水平地面上有A、B两点，且两点间距离
LAB=15m，质量m=2kg的物体（可视为质点）静止在A点，为使物体运动到B点，现给物体施加一水平F =10N的拉力，求拉力F作用的最短时间。（已知地面与物块的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s2）
解析：可证要使F作用时间最短，则F作用一段最短时间t1后撤去该力，使物体匀减速运动t2时间在B点恰好停止（证明见后）。
设匀加速直线运动的加速度为a1，运动的位移为s1，由题意可得：
F??mg?ma1 （1）
s1?12a1t1 （2） 2设撤去F后物体做匀减速直线运动的加速度大小为a2，时间为t2，位移为s2，由题意可得：
?mg?ma2 （3） s2?12a2t2 （4） 2a1t1?a2t2 （5） s1?s2?LAB （6）