高中物理中的临界与极值问题
宝鸡文理学院附中 何治博
一、临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。
高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。
二、常见临界状态及极值条件 解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件：
1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为45
2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻
3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。
5.两个物体同向运动其间距离最大（最小）——两物体速度相等。 6.两个物体同向运动相对速度最大（最小）——两物体加速度相等。
7.位移一定的先启动后制动分段运动，在初、末速及两段加速度一定时欲使全程历时最短——中间无匀速段（位移一定的先启动后制动分段匀变速运动，在初速及两段加速度一定时欲使动力作用时间最短——到终点时末速恰好为零） 8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速。
9.加速运动的物体速度达到最大——恰好不再加速时的速度。 10.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零。
11.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零（曲线运动的物体轨迹恰与某边界线相切）
12.在排球场地3米线上方水平击球欲成功的最低位置——既触网又压界 13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速。
14.线（杆）端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点—最高点绳拉力为零（v杆端=0）
0
15.竖直面上运动的非约束物体达最高点——竖直分速度为零。 16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零。
17.已知一分力方向及另一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小——两分力垂直。 18.动态力分析的“两变一恒”三力模型中“双变力”极小——两个变力垂直。 19.欲使物体在
F1F2两个力的作用下，沿与
F1成锐角?的直线运动，已知
F1为定值，则
F2最
小时即恰好抵消
F1在垂直速度方向的分力。
20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）。
21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消。 22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直。 23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R。 24.机车从静止匀加速启动过程持续的最长时间——Pt?Pe
25.损失动能最小（大）的碰撞——完全弹性（完全非弹性）碰撞。 26.简谐运动速度最大——位移（恢复力、加速度）为零。
27.受迫振动振幅恰好达最大——驱动力的频率与振动系统的固有频率相等。 28.两个同相相干波源连线上振幅最大的点——两边距连线中点x? n=0,1,2,3… x/?（?2n+1）429.只有机械能与电势能相互转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大。 30.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场边界相切。 31.纯电阻负载时电源输出功率最大——内外电阻阻值相等。 32.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点。
33.倾斜安放的光滑导轨上的通电导体棒静止时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁
感强度最小。
34.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角。 35.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率。
36.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力平衡。 37.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、运动周期、角速度均最小；
速度、向心力、加速度均最大。
38.等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的位置求解。
三、临界与极值问题一般解法 临界问题通常以定理、定律等物理规律为依据，分析所研
究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括（1）利用矢量图求极值（2）用正（余）弦函数求极值；（3）抛物线顶点法求极值；（4）用基本不等式求极值。（5）单调函数端点值法求极值（6）导数法求解。一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。
四、典型问题剖析
例题1．某屋顶横断面是一等腰三角形ABC，横梁AC=2L（定值），欲使雨水从屋顶面上流下来时间最短，求屋面的倾斜角（摩擦忽略不计，雨水初速为0）
?4?2n；反相波源时
?
解析：设倾斜角α，AB=s ∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα ∵s=∴
=
当α=45°时，等号成立
所以α=45°，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短解法2.
L1?gsin??t2 ?解得当?=450时 t有最小值。 cos?2
例题2．从倾角为θ的固定长斜面顶点以初速度v0水平抛出一小球，
不计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远?
解法一：设经t秒小球距离斜面最远，此时速度必与斜面平行，则
tg??vyvx?vgt 所以 t?0tg?时小球距离斜面最远。
gv0解法二：小球远离斜面方向的初速度v0离=v0sin? 远离斜面方向的加速度a离=-gcos? 所以远离斜面的速度减小至零时相距最远。令v0离+a离t?0 则t?时相距最远。
解法三：球与斜面距离S?v0离t+a离t??显然当t??v0离v0sin?v0=?tg? a离gcos?g122gcos?2?t?v0sin??t?0 2v0sin?v?0tg?时 距离最大
gcos?2(?)g2g2x，设抛物线上任意一点P0(x0,y0)到该直线22v0解法四：解析法。选初速度方向为x轴正向，重力方向为y轴正向，则代表该斜面的直线方程为
y?tg??x 平抛物体轨迹方程为y?距离S?1Ax0?By0?C11tg??x0?(?1)y0?01 ?2222A?Btg??(?1)gcos?2?x0?sin??x0?0 22v0注意到tg??x0?y0 故S??xvsin?v02显然二次函数有极大致的条件为x0???tg? 即t?0?0tg?
gcos?v0gg2(?)2v02
例题3．一个质量为3kg的物体放在长木板上，当木板一端抬起使它与水平方向成30°的固定斜面时，物体正好可以沿斜面匀速下滑。当木板水平固定时，用多大的水平拉力能将该物体拉动？ 解析：在斜面上物体所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡 即F=mgsin30° 而滑动摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小。则水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要达到这个值才能拉动物体，
例题4-1．某物体所受重力为200 N，放在水平地面上，它与地面间的动摩擦因数是0.38，它与地面间的最大静摩擦力是80 N，至少要用_________N的水平推力，才能将此物体推动，若推动之后保持物体做匀速直线运动，水平推力应为_________N；物体在地面上滑动过程中，若将水平推力减小为50 N，直到物体再次静止前，它所受到的摩擦力为_________N；物体静止后，此50 N的水平推力并未撤去，物体所受的摩擦力大小为_________N.
解析：从静止推物体时推力至少达到最大静摩擦力80N才可以推动物体；推动后当推力大小与滑动摩擦力等值（200×0.38=76N）时物体将做匀速直线运动；在物体滑动过程中水平推力若减小至50N，物体受到的滑动摩擦力仍跟原来一样为76N；物体静止后此50N的水平推力并未撤去时物体受静摩擦力大小等于此时的水平推力大小50N。
例题4-2． 如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的
a 金属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、L1 L2 b L，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均
2匀变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动。
解析：当磁场发生变化的时候，有感应电动势产生，在回路中就会产生感应电流，ab棒会受到安培力的作用，则ab有向左运动的趋势，则ab就会受到向右的静摩擦力的作用。当ab棒受到
E?安培力和静摩擦力的作用平衡时，由
???kL1L2?t可知，回路中感应电动势是恒定的，电流
大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，所以安培力将随时间而增大，所以ab受到的
静摩擦力也增大，二者始终是等值反向的，只要安培力的大小没有超过最大静摩擦力，ab就始终处于静止状态。当安培力大于最大静摩擦力之后，ab就会运动起来。在静止到运动之间就存在着一个从静止到运动的临界状态，此状态的临界条件就是安培力增大到等于最大静摩擦力。
kt?此时有：
kL1L2?mgR?L1??mg,所以t?22RkL1L2
的匀强电阻均为
；
例题4-3．如图3所示两根平行的金属导轨固定在同一水平面上，磁感应强度磁场与导轨平面垂直，导轨电阻不计，导轨间距
；两根质量均为
的平行金属杆甲、乙可在导轨上垂直于导轨滑动，与导轨间的动摩擦因数均为现有一与导轨平行大小为
的水平恒力作用于甲杆使金属杆在导轨上滑动，已知
g?10ms2 求（1）分析甲、乙二杆的运动的情况？（2）杆运动
很长时间后开始，则再经过5秒钟二杆间的距离变化了多少？