(附：麦克斯韦速率分布律
解：
?NN?4π4π((m2kTvvp?NN?4π(m2kT)3/2exp(?mv22)v?v．exp{a}即e )
a
2kT)23/2exp?(vvpmv22kT)}2)v?v ?vvp2 ?)exp{?(．
代入 v =vp． 与v p相差不超过1%的分子是速率在vp?vp100 ?v = 0.02vp，
到vp?vp100区间的分子，故
∴ ?N / N = 1.66%．
5. 由N个分子组成的气体，其分子速率分布如图所示． N f ( v ) (1) 试用N与v0表示a的值． (2) 试求速率在1.5v0～2.0v0之间的分子数目． (3) 试求分子的平均速率．
O a v v0 2v0 解：(1) 由分布图可知： 0→v 0： N f (v) = ( a / v 0) v， f (v) = av /(N v 0)． v 0→2 v 0： N f (v) = a， f (v) = a /N． 2v 0 f (v) = 0
?v02v00
由归一化条件?f(v)dv?1， 有
0?(av/Nv0)dv?v0?a/Ndv?1，
得： ( 3 /2 ) ( av 0 /N ) = 1 ， ∴ a = ( 2 /3 ) ( N /v 0)．
2v02v0 (2) ?N?32?v0Nf(v)dv?32?v0NaNdv?12av0，
将a代入得 ?N?12v0?2N/(3v0)?13N．
2 (3) 0→v 0： f (v) = a v /(N v 0) = (v / N v 0)32 N / (3 v 0) ?2v/(3v0)．
v 0→2 v 0： f (v) = a /N = ( 1 / N )3( 2 N / 3 v 0) = 2 / (3 v 0)．
?v02v020 v??vf(v)dv?0?v?2v/(3v)dv?0v0?v?2/(3v0)dv ?29v0?v0=11 v 0 /9
6. 一显像管内的空气压强约为1.0310 mmHg，设空气分子的有效直径d = 3.0310 （空气的摩尔质量28.9310?3 kg/mol, 玻尔兹曼常量k = 1.38310?23 J2K?1 760 mmHg = 1.0133105 Pa）
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?5
?10
m，
试求27℃时显像管中单位体积的空气分子的数目、平均自由程和平均碰撞频率．
解：(1) n? (2) ??vpkT?3.22310 m
17
?3
kT2πdp2?7.8 m
(3) Z???8RT?Mmol1??60 s.
?1
四 研讨题
1. 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？
参考解答：
推导压强公式时，用的是理想气体分子模型，将理想气体分子看作弹性自由质点；在推导内能公式时，计算每个分子所具有的平均能量，考虑了分子的自由度，除了单原子分子仍看作质点外，其他分子都看成了质点的组合；推导平均碰撞频率公式时，将气体分子看成有一定大小、有效直径为d的弹性小球。
2. 速率分布分布函数假设气体分子速率分布在0～∞范围内, 也就是说存在大于光速c的分子。然而，由爱因斯坦的狭义相对论知，任何物体的速度均不会超过光速，这岂不是矛盾? 气体中有速率为无穷大的分子吗?
参考解答：
?(1) 分布函数归一化条件:?f(v)dv?1
0?(2) 平均速率: v??vf(v)dv
0在以上积分计算中,均假定气体分子速率分布在0→∞范围内,也就是说有速率为无穷大的分子存在,而这与爱因斯坦的狭义相对论任何物体的速率均不可超过光速矛盾.历年来,学生学到这部分内容,总对上面积分中积分限的正确性提出质疑. 那么,气体中是否存在速率为无穷大的分子呢?
从麦克斯韦速率分布函数f(v)的物理意义及其数学表示式上可方便快捷地得到正确的结论. 分析如下.从物理意义上讲, f(v)代表速率v附近单位速率区间内的分子数所占的比率,要分析是否有速率为无穷大的分子存在,只需计算速率v取∞时的f(v)即可,有
3?m?2?mv2/2kT2f(v)?4?v?0 ??elimlim2?kTv??v????上式说明,速率在无穷大附近的分子数占总分子数的比率为0,即不存在速率无穷大的分子。 既然不存在速率为无穷大的分子,那么正确的积分应选为0到最大速率vmax区间. 为什
么选0→∞范围、能否得知一个热力学系统分子运动的最大速率呢?
由微观粒子的波粒二象性及不确定关系可知：分子最大速率的准确值实际上是不可知的。
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而从数学上讲,对某个区间的积分运算可以分段进行,或者说加上一个被积函数为0的任意区间的积分,并不影响原积分结果。
3. 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？
参考解答：
气体的算术平均速率公式： v?8RTπ??1.60RT?，
在空气中有O2，N2，Ar，H2，CO2等分子，其中以H2的摩尔质量最小．从上式可知，在同一温度下H2的v的较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层．H2摩尔质量? 最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O2、Ar、CO2达到这一速度的分子数多。H2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H2在大气中的含量最少．
4. 测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行？假若真空度较差，问容器内允许的气体压强受到什么限制？
参考解答：
如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。假若真空度较差，只要分子的平均自由程?大于容器的线度L，即?>L，那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:
??kT2?dP2, 所以要求
kT2?dP2?L, 即 P?kT2?dL2.
这就是对于容器内压强的限制条件。
第11章 热力学基本原理
一、选择题
1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(A)，6(C)，7(D)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题
(1). 等于，大于，大于. (2). 不变，增加
(3). 在等压升温过程中，气体要膨胀而对外作功，所以要比气体等体升温过程多吸收一部分热量.
(4). ?|W1|，?|W2| (5). >0，>0
(6). AM， AM、BM (7). ??1w?1 (或w?1??1)
(8). 500，100
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(9). 功变热，热传递
(10). 从几率较小的状态到几率较大的状态 ，状态的几率增大 (或熵值增加). 三、计算题
1. 一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压两过程回到状态A．
(1) 求A→B，B→C，C→A各过程中系统对外所作的功
1 p (10 Pa) B 53 2 A W，内能的增量?E以及所吸收的热量Q． ?33V (10 m) (2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸O 1 2 收的总热量(过程吸热的代数和)．
解：(1) A→B： W1?12(pB?pA)(VB?VA)=200 J．
C ΔE1=??CV (TB－TA)=3(pBVB－pAVA) /2=750 J
Q=W1+ΔE1＝950 J．
B→C： W2 =0
ΔE2 =??CV (TC－TB)=3( pCVC－pBVB ) /2 =－600 J．
Q2 =W2+ΔE2＝－600 J．
C→A ： W3 = pA (VA－VC)=－100 J． ?E3??CV(TA?TC)?32(pAVA?pCVC)??150 J．
Q3 =W3+ΔE3＝－250 J (2) W= W1 +W2 +W3=100 J． Q= Q1 +Q2 +Q3 =100 J
2. 汽缸内有2 mol氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨胀，直至体 (1) 在p―V图上大致画出气体的状态变化过程．
(2) 在这过程中氦气吸热多少？
(3) 氦气的内能变化多少？
(4) 氦气所作的总功是多少？(普适气体常量R=8.31 J?mol
?1积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体．试求：
?K?1)
p解：(1) p－V图如图．
(2) T1＝(273＋27) K＝300 K 1 2 据 V1/T1=V2/T2， 得 T2 = V2T1/V1＝600 K 3 Q =??Cp(T2?T1)
= 1.253104 J
OV1V2 (3) ?E＝0
(4) 据 Q = W + ?E ∴ W＝Q＝1.253104 J
V
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