取 S(x)??kxk?1?k?1????k??x?1??,??x????1?x??2??1?x??k?1??x?1,
??0.8122k?1??1.25, E(x)??k?0.2?0.8?0.8?k2?0.2k?1, 所以 E(x)?20.8(1?0.2)k?1k?1取 g(x)??k2xk?1k?1???x???k?1??xkx??????2??k?1???1?x???1?x??,3???1?x?x＜1
故 E?x2??0.8?1?0.2?1?0.2?3?1.875, 从而 D?x??Ex2??Ex??0.3125。
2??x2???2?2,x?05. 设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f?x???Axe??0, x?0 ，?为常数
试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P?X?E(X)?。
?????x22?2解
???f?x?dx?A?xe0dx??A?e2?x22?2??0?A?2?1,A?x22?2??01 ?2x22?2E(X)?1?21?2???0x2e?x22?dx???xde0???x22?2??xe???e0???dx?2???2??2EX2??????0x3e?x22?2dx2x2令t?2?22?2?te?tdt??2?2?tde?t?2?200????
D?X??EX2??E?X???2?2????2??????2???222????2??P?X?E(X)??1?P?X?E(X)??1??f(x)dx?1????201xe2??x22?2dx?e??46. 设?X、Y?的联合分布为右表 (1) 求E?X?、E?Y? (2) 设Z?Y/X、求E?Z?
2 (3) 设W??X?Y?、求E?W?。
Y X ?1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 解 E(Y)??0.2?0.1?0????1???0.1?0?0.3??0??0.1?0.1?0.1??1?0
E(X)??0.2?0.1?0.1??1??0.1?0?0.1??2??0?0.3?0.1??3?2
Z P 1111
23230.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 -1 - ? 0 1 W P 0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 11?1?E(Z)?0.2???1??0.1?????0.1?1?0.1??0.1???0.0667
32?2?E(W)?0.1?0?0.2?1?0.3?4?0.4?9?0?16?5。
7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，
求随机变量X?Y的方差。
1?z2解 令Z?X?Y,则Z?N(0,1) fZ(z)?e
2?E(Z)??2??2??zfZ(z)dz???zfZ(z)dz????0??0zfZ(z)dz?2? E(Z)?E(Z2)??????z21?z2edz?1 2?22D(X?Y)?D(Z)?E(Z)?E2(Z)?1?2?。
8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则E(X|Y?1)为多少？ 解：条件期望E(X|Y?1)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y?1)，先要求得Y?1条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故
P{X?0|Y?1?}P{X? 1Y?|，?21C?C3， 31 P{X?2|Y?1}??34C4 P{X?3|Y?1C?}33C431， ?4319由此可算得Y?1下的条件期望E(X|Y?1)?2??3??。
4449. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中
的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。 解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，则有P?Ak??又
1?i?2,3,9,10?，设Ak表示第k人在第i
18,P?Ak?? (k?1,2,99,25)，
A1,,A25相互独立，因此第i层无人下电梯（电梯不停）的概率为
?25?25?8?P??Ak???P?Ak????
?9??k?1?k?1设Xi??25?1,第i层有人下，i?2,?0,第i层无人下25,10，则
25?8??8?P?Xi?0???? ,P?Xi?1??1??? ,i?2,3,?9??9?因此，电梯停的总次数为X?,10
?Xi?210i，
??8?25??10?10EX?E??Xi???E?Xi??9?P?Xi?1??1?9?1???? 。
?i?2?i?2???9???10. 设随机变量X的概率密度为
?ax2?bx?c,0?x?1 f(x)??
0,其他.?已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。
解：由密度函数性质及已给条件，知有
ab??c，?2a?3b?6c?6，
??032?11abc?E(X)??xf(x)dx??xax2?bx?cdx???，?3a?4b?6c?6，
??02432?212abc22 E(X)??xf(x)dx??xax?bx?cdx???，
??05431???f(x)dx??ax2?bx?cdx?1??????22 0.15?D(X)?E(X)?E(X)?abc1???，?12a?15b?20c?24， 5434b??12,c?3。
三个方程，三个变量，解之可得：a?12,211. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从N?,?，设Z?max?X,Y?，求E?Z?。
??解：设U?X???,V?Y???，则X??U??,Y??V??，由于X与Y相互独立
?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?
?Z?max?X,Y??max??U??,?V?????max?U,V???
U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?，则有T?U?V~N?0,2? ?E?T???????t12?2e?t22?2dt?2?
而max?U,V??1?U?V?U?V?，则有 2E??max?U,V????11EU?EV?EU?V??。 ?2?因此E??max?X,Y?????E??max?U,V??????四、证明题
设随机变量X和Y相互独立，试证明
???。 ?D(X?Y)?D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)．
证明：D(X?Y)?E?(XY)?E(XY)??E(XY)2?2XYE(XY)?E2(XY)
?E(XY)2?2E(XY)E(XY)?E2(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)， 因为X和Y相互独立，所以有E(X?Y)?E(X)?E(Y)，又
E(X2Y2)??????22xyf????2???(x,y)dxdy????2??2xfX(x)dxyfY(y)dy??????E(X2)E(Y2)，
从而有 D(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)
22?E(Y2)?E2(X)E(Y2)?E2(X)E2(Y) ??E(X)?E(X)??