(II)求z?X?Y的概率密度。
解：
（Ⅰ）P?X?2Y??区域；
求此二重积分可得P?X?2Y?? ???(2?x?y)dxdy，其中D为0?x?1,0?y?1中x?2y的那部分
D?dx?0111x20(2?x?y)dy
52(x??08x)dx 7 ?
24（Ⅱ）FZ(z)?P?Z?z??P?X?Y?z?
当z?0时，FZ(z)?0；
当z?2时，FZ(z)?1；
13(2?x?y)dy??z?z2 ?003111352 当1?z?2时，FZ(z)?1??dx?(2?x?y)dy?z?2z?4z?
z?1z?x33?2z?z2,0?z?1?2 于是fZ(z)??z?4z?4,1?z?2
?0,其他? 当0?z?1时，FZ(z)?zdx?z?x9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为
?的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电
路正常工作时间T的概率分布。
解 以Xi表示第i个元件无故障工作时间，则X1,X2,X3独立且分布函数为
t???1?e?，t?0FX（t）?, i?1, 2, 3, T?min{X1,X2,X3}. ?i??0, t?03t??3??1?e?,t?0F（t）?. 所以T服从参数为的指数分布 1?(1?F(t))?T??Xi3i?1??0, t?0?1?2,?1?x?0??110. 随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2?4?0,其他??令Y?X2,F?x,y?为二维随机变
量(X, Y)的分布函数， (Ⅰ)求Y的概率密度fY?y?； (Ⅱ)F??解：
?1?,4?。 2???0,y?0?(1)式,0?y?1?2（Ⅰ）FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)??
?(2)式,1?y?4??1,4?y (1)式?P(?y?X?1y)??dx?2?y1y)??dx?2?10013dx?y； ?440yy (2)式?P(?y?X??0111dx??y. 424?3?8y,0?y?1??1'所以：fY(y)?FY(y)??,1?y?4
?8y?0,其他??（Ⅱ）
1F(?,4)21111?P(X??,Y?4)?P(X??,X2?4)?P(X??,?2?X?2)?P(?2?X??)2222??11。 dx??24?112?te?t,t?0,11. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为f?t???
0,t?0.?设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。 解：设某种商品在第i周的需求量为Xi?i?1,2,3?，由题意得X1,X2,X3相互独立，且有
?te?t,t?0, fXi?t??f?t???0,t?0.?（1）记两周需求量为Z，即Z?X1?X2，则Z的概率密度为
z???0f?x?f?z?x?dx,z?0fZ?z???f?x?f?z?x?dx?????0,其它? 3?zz?ze??z?x??x?dx,z?0?,z?0??0xe?z?x?e ????3!?0,其它?0,?其它???（2）记三周需求量为W，即W?Z?X3，又Z?X1?X2与X3相互独立，则W的概率密度为
u??f?x?fX3?u?x?dx,u?0fW?u???fZ?x?fX3?u?x?dx???0Z???0,其它?
?ux3e?x?u5e?u??u?x?,u?0??u?x?edx,u?0?? ???03!?5!?0,其它?其它??0,??
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差
二、计算下列各题
1. 设球直径的测量值在?a,b?上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。 ?1,a?x?b?解 设球的直径为X,其概率密度为f(x)??b?a
?0，? 其它?x3则球的体积Y?g(x)?,6
b?1?1E(Y)?E?g(x)???x3?dx??x4a6b?a6?b?a?4ba??a?b?a2?b2?24??
?11?2. 设随机变量X服从??,?上的均匀分布，y?g?x???22??lnx,x?0,求 ?0, x?0?Y?g(x)的数学期望和方差。
11??1,??x?解 X的概率密度f(x)??22，
?0, 其它?E(Y)?E?g?x???12?120lnxdx??1?ln2, 2?ln2?1, D?Y??1?ln2?2?1ln2?3。 424EY????20ln22?ln2?xdx?23. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。
解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ∴ X,YU(0,a)，
?1?1?1?,x?(0,a)?,y?(0a,)?,x,y?(0,a)， fY(y)??a，f(x,y)??a2， fX(x)??a????0, 其它?0, 其它?0, 其它令Z?X?Y,则Z取值于(0,a)， 这时 FZ(z)?P??z?X?Y?z??1212dxdy?z?z 22??aaa?z?x?y?z?22??z,0?z?a∴ fZ(z)??aa2
??0, 其它E(Z)??a02121113z(?2z)dz?2(z2?z)aaa2a3a02a2a???。 a634. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。
解 Ak?“第K次命中目标”,K?1,2?
P?x?k??P(A1A2?Ak?1Ak)=P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?(1?0.8)k?1?0.8
?k?1E(x)??k?0.2k?1?0.8?0.8?k?0.2k?1,
k?1?