故这步推理错误
5.设R，S是X上的满足R?S?S?R的对称关系，证明R?S?S?R.
证1：设(x,z)?S?R，则?y?X,使得(x,y)?S且(y,z)?R。 因为R，S均对称，所以R?R?1,S?S?1 于是(y,x)?S?1?S,(z,y)?R?1?R
从而(z,x)?R?S,(x,z)?(R?S)?1?(S?R)?1?R?1?S?1?R?S 因此S?R?R?S 故S?R?R?S
证2S?R?S?1?R?1?(R?S)?1?(S?R)?1?R?1?S?1?R?S，故S?R?R?S，于是R?S?S?R
6.设R为X上的对称关系，证明：?n?N,Rn是对称关系。
证1(Rn)?1?(R?R???R)?1?R?1?R?1???R?1?R?R??R?Rn，故R对称。 证2?(x,y)?Rn，则?y1,y2,?,yn?1?X，使得
(x,y1)?R,(y1,y2)?R,?,(yn?1,y)?R。因为
R对称，所以
(y,yn?1)?R,(yn?1,yn?2)?R,?,(y2,y1)?R,(y1,x?R)，因此(y,x)?Rn，故R对称。
证3用数学归纳法对n进行归纳。 当n=1时，Rn=R显然是对称的。 假设当n=k时，Rk对称。
当n=k+1时，Rk?1?Rk?R?R?Rk。
?(x,y)?Rk?1，则?z?X，使得(x,z)?Rk,(z,y)?R。
因为Rk，R均是对称的，所以(y,z)?R,(z,x)?Rk，于是(y,x)?R?Rk?Rk?1。 因此Rk+1对称。
综上，Rn对n?N都是对称关系。
7.设R1,R2,R3,?是X上的二元关系的一个无穷序列，则当每个Ri是对称关系时，
?Ri还是对称的吗？
i?1? 33
证：则?i0的使得(x,y)?Rio。因为Ri0对称，所以有(y,x)?Rio，?(x,y)??Ri，
i?1?故(y,x)??Ri。因此?Ri还是对称的。
i?1i?1??P98习题
1.设R是X上的二元关系，试证（1）
(R?)??R?,(2)(R*)*?R*,(3)R?R*?R*?R?R?,(4)(R?)*?(R*)??R?。 证：（1）因为R??(R?)?显然成立。
其次，设(a,b)?(R?)?，因为(R?)?是一切包含R?的传递关系的交，而
R??(R?)?且R?是传递的，故(a,b)?R?，即(R?)??R?。
因此(R?)??R?。
（2）因为R??(R?)?显然成立。
其次，设(a,b)?(R?)?，因为(R?)?是一切包含R?的自反传递关系的交，而R?
本身是自反的也是传递的且R??(R?)?，故(a,b)?R?，即(R?)??R?，因此
(R?)??R?。
（3）R?R??R?(R0?R?R2??)?R?R2?R3???R?
R??R?(R0?R?R2??)?R?R?R2?R3???R? （4）先证(R?)??R?
(R?)??(R?)0?(R?)??IX?R??R? 再证(R?)??R?
因为(R?)?是包含R?的一切传递关系的交，又因为R??(R?)?且R?是传递的，所以(R?)??R?。
因此(R?)??(R?)??R?。
2.设X＝（a,b,c,d,e），R＝｛（a,b），（b,c），（c,d），（d,e）｝试求R?和R?。
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解：R2?{(a,c),(b,d),(c,e)}
R3?{(a,d),(b,e)}R4?{(a,e)}R5??
故R??R?R1?R2?R3?R4?R5?{(a,b),(b,c),(c,d),(d,e),(a,c),
(b,d),(c,e),(a,d),(b,e),(a,e)}
R??IX?R??{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,b),(b,c),(c,d),(d,e),(a,c),(b,d),(c,e),(a,d),(b,e),(a,e)}3.设R,S为X上的二元关系，试证：
（1）(R?S)??R??S? （2）(R?S)??R??S?。 证：（1）因为R?R?S,S?R?S 所以R??(R?S)?,S??(R?S)? 因此R??S??(R?S)? （2）因为R?R?S,S?R?S 所以R??(R?S)?,S??(R?S)?
因此R??S??(R?S)? 〔证毕〕 6.举例说明s(t(R))与t(s(R))确定不相等。
解：设N?{1,2,3,?}，在N上定义小于关系“＜”，则
s(t(?))?s(?)?“不等关系≠”。 t(s(?))?t(?)?“全关系”。
因此的确不相等。
7.是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系的反对称闭包？为什么？
解：不可以。
因为二元关系的反自反闭包和反对称闭包是空集，没有多少研究价值。因此不定义二元关系的反自反闭包和反对称闭包。
8.是否存在X（X=n）上的一个二元关系R使得R,R2,?,Rn两两不相等。
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解：存在。
设X?{1,2,3,?,n}，则R是X上的二元关系且R?{(1,2),(2,3),?,(n?1,n)}即可满足要求。
9.证明：若R是对称的，则R＋也是对称的。
证：
?(x,y)?R??Ri，则?m?N，使得(x,y)?Rm。因为若R是对称的，所
?i?1?以R也是对称的，因此(y,x)?R??Ri。即R?也是对称的。
mm?i?110.设R1,R2是X上的二元关系，证明：
（1）r(R1?R2)?r(R1)?r(R2) （2）S(R1?R2)?s(R1)?s(R2) （3）t(R1?R2)?t(R1)?t(R2)
证：（1）因为r(R1)和r(R2)都是A上的自反关系，所以r(R1)?r(R2)也A上的自反关系。
由R1?r(R1),R2?r(R2)，得R1?R2?r(R1)?r(R2)，所以r(R1)?r(R2)是包含
R1?R2的自反关系。由自反闭包的定义可知：r(R1?R2)?r(R1)?r(R2)
又R1?R1?R2,R2?R1?R2，故r(R1)?r(R1?R2)，r(R2)?r(R1?R2)，因此
r(R1)?r(R2)?r(R1?R2)。从而r(R1?R2)?r(R1)?r(R2) （2）同（1）的证明。
（3）因为R1?R1?R2,R2?R1?R2，故t(R1)?t(R1?R2),t(R2)?t(R1?R2)，因此t(R1)?t(R2)?t(R1?R2)。
例：设X?{a,b,c}，A上的两个关系R1?{(a,b)},R2?{(b,c)}。于是
t(R1)?{(a,b)},t(R2)?{(b,c)}，故t(R1)?t(R2)?{(a,b),(b,c)}，但 R1?R2?{(a,b),(b,c)},t(R1?R2)?{(a,b),(b,c),(a,c)}。 因此t(R1?R2)?t(R1)?t(R2)。
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