f1:a11a12a13?f2:a21a22a23?f3:a31a32a33? ? ? ?fn:an1an2an3?? ? ??造一个特征函数?。令??{bi}1
其中aij?0或1,j?1,2,3,?。
?1 若a11?0b1??；0 若a?1?11?1 若a22?0b2??；?0 若a22?1 ? ?1 若ann?0bn???0 若ann?1 ? 则??f1,f2,f3,?,fn,?,但?确实是A到{0,1}的一个映射，即?是A的子集的特征函数，矛盾。故2A不可数。
5．令N?{1,2,3,?}，S?{ff:N?{0,1}},利用康托对角线法证明S是不可数集。
证:假设从N到{0, 1}的所有映射之集可数，则可排成无重复项的无穷序列
f1,f2,f3,?。每个函数fi确定了一个0,1序列ai1,ai2,ai3,?。构造序列若aii?0；否则bi?0。该序列对应的函数f(i)?bi，i?N， b1,b2,b3,?,bi?1，
不为f1,f2,?任一个，矛盾。
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