每个人都握手的人数之最大值是多少？（“希望杯”邀请赛试题）
解 由题意，把参加聚会的人视为顶点，其集合记作V，对于
，v∈V，如
果u和v所表示的两个人握了手，则令u和v相邻，得到n阶简单图记作G.则图G中至少有一个顶点u，使得
.这表明，图G不是完全图.
要求的是，聚会中和其他所有的人都握手的人数的最大值，即求图G中度为n-1的顶点个数之最大值.于是即求所有n阶非完全的简单图G中度为n-1的顶点个数之最大值m.
由于图G是非完全图，所以至少有两个顶点u和v是不相邻的，因此d(u)≤n-2，d(v)≤n-2.这表明，m≤n-2.
取一个n-2阶完全图Kn-2，另取两个顶点u和v.令Kn-2中每个顶点都和u与v相邻，而u与v不相邻，得到的图记作Kn-2+u+v.很明显，图Kn-2+u+v不是完全图，而且d(u)=d(v)=n-2，并且对除u，v外任意的顶点x均有d（x）=n-1.这表明m=n-2.即聚会中和每个人都握手的人数之最大值是n-2.
例2 有一个团体，由1982个人组成，其中任意四个人中都至少有一个人认识其他三个人.问该团体中认识其他所有人的成员最少有多少？（上海市竞赛题）
解 把该团体的成员视为顶点，其集合记作V.对于u，v∈V，如果u，v所表示的两名成员彼此认识，则令u和v相邻，否则令u和v不相邻，得到的是一个1982阶简单图G.由已知条件可知，如果1982阶简单图G的任意四个顶点中都至少有一个顶点和其他三个顶点相邻.求图G中至少有多少个度为1981的顶点？
当图G为完全图时，图G的每个顶点的度都是1981.所以有1982个度为1981的顶点.
当图G为非完全图时，图G中必有两个不相邻的顶点u和v，显然有d（u）≤1980，d（v）≤1980.因此，图G中度为1981的顶点的个数≤1980.如果图G中除u和v外还有两个顶点x和y不相邻，则u，v，x和y中不存在和其他三个顶点都相邻的顶点，与图G所具有的性质矛盾.因此图G中除u和v外任意两个顶点都相邻.这说明，对G中除u和v外的任意顶点x，都有d（x）≥1979.如果G中除u和v外的任意顶点x都和u与v相邻，则d（x）=1981.此时，G中度为1981的顶点个数为1980.设G中除u和v外有个顶点x和u与v不都相邻，则
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有题意，G中除u，v和x之外的任意顶点y和u、v与x都相邻.因此，（u）d≤1980，d（v）≤1980，d（x）≤1980，且d（y）=1981.所以G中度为1981的顶点个数为1879,.这表明，如果1982阶简单图G中任意四个顶点中必有一个顶点和其他三个顶点都相邻，则G中至少有1979个度为1981的顶点.
所以，该团体中认识其他所有人的成员最少是1979.
例3 有7为男生与7为女生参加一次舞会，会后统计出各人的跳舞次数为（按从小到大的顺序）：
3，3，3，3，3，4，6，6，6，6，6，6，6，6 （1） 证明其中必有错误.（北京市竞赛题）
证明 用点表示人，如果两个人跳过一次舞，就在相应的两个点之间连一条线.跳舞次数的和就是图中各点的度的和，而（1）中有5个奇数，总和为奇数，这与定理1矛盾！
例4 在例3 中，如果统计的跳舞次数为3，3，3，3，3，5，6， 6，6，6，6，6，6，6，其中是否有错？这里约定男生不与男生跳舞，女生也不与女生跳舞.（北京市竞赛题）
解 我们用黑点表示男生，红点表示女生.在跳过舞的两个人之间用边相连（跳几次就连几次）.根据约定，黑点之间互不相连，红点之间也互不相连.所得的图为二部图，显然
所有黑点的度之和=所有红点的度之和=图中的边数 （2） 但题中给出的14个数中仅有一个数5不被3整除，这样（2）的一边被3整除；另一边恰有一个数不被3整除，从而不被3整除.矛盾！
例5晚会上大家握手言欢，试证握过奇次手的人数是偶数.（全国初中数学竞赛试题） <