全国中考数学压轴题精选精析（五）
50.（云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记）
已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求△ABC的面积； （4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． （云南双柏25题解析）25．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） ∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得 ??0＝36a－6b＋8? 解得?0＝4a＋2b＋8? ? ?8?b＝－3 2a＝－ 3 28 ∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 33（3）∵AB＝8，OC＝8 1 ∴S△ABC ＝×8×8=32 2 （4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ 40－5mEFBEEF8－m ＝ 即＝ ∴EF＝ ACAB1084 4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 5∴ FG4440－5m＝ ∴FG＝·＝8－m EF554 11∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m） 22111 ＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在． 理由： 111 ∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0， 222∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形． 51.（重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线y?ax?2ax?c(a?0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 Y 2 C?OBQDAX 52（浙江湖州）24．（本小题12分） 28题图 已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反 k(k?0)的图象与AC边交于点E． x（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等； 比例函数y?（2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （浙江湖州24题解析）24．（本小题12分） （1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2， 由题意得y1?kk，y2?． x2x1?S1?1111x1y1?k，S2?x2y2?k． 2222?S1?S2，即△AOE与△FOB的面积相等． 3?，F?4，?， （2）由题意知：E，F两点坐标分别为E?，11?1??1?ECCF??4?k??3?k?， 22?3??4??k?3????k?4??S△ECF?11?S△EOF?S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△ECF?12?k?k?S△ECF?12?k?S△ECF 221?1??1??S?S△OEF?S△ECF?12?k?2S△ECF?12?k?2??4?k??3?k? 2?3??4??S??当k??12k?k． 121?1?2?????12??6时，S有最大值． S最大值??1?3． 1??4?????12?（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN?OB，垂足为N． 由题意得：EN?AO?3，EM?EC?4?k，MF?CF?3?131k， 4?EMN??FMB??FMB??MFB?90，??EMN??MFB． 又 ?ENM??MBF?90， ?△ENM∽△MBF． 1??141?k?4?k?3ENEM3??12?， ???，?1?MB3?1k?MBMF3?1?k?4?12?