例22 设A,B,C,D是正四方形ABCD的4个顶点，D4是X?{A,B,C,D}的对称群。A点的迷向子群GA?{e,b}，即A在G作用下不变。左陪集aGA?{a,r2}将A映为C，
AuGA?{u,r}将A映为B，vGA?{v,r3}将A映为D。含A的D4轨道共有82?4个点。
见图1.7。
以上对迷向子群的讨论是很重要的。特别是定理1.8，使迷向子群的陪集和轨道上的点之间，建立了一一对应关系，并把代数的陪集概念与几何的轨道概念联系起来了。
1.6群的直积与半角积
先讨论两个群G1和G2的直积。
设g1??G1,g2??G2，则G1和G2直积群G的元素g??为
g???g1?g2??g2?g1?。
由于在群G1和G2间并没有乘法规则，故定义直积群时，总可以取g1?和g2?可交换。对
g??,g?'?'?G，定义直积群的乘法为
g??g?'?'?(g1?g2?)(g1?'g2?')?(g1?g1?')(g2?g2?')
\\\\ ?(g2?g2?')(g1?g1?')?g1?g2??g2?g1?
\其中g1?g1?'?g1??G1，g2?g2?'?g2??G2。由g??并按上述乘法规则，得到G1和G2\得直积群G。记为G?G1?G2或G?G1?G2。
设e1,e2分别是群G1,G2的单位元素，群F1?{g1?e2}和群F2?{e1g2?}分别于群G1和群G2同构。G1?F1，G2?F2。按以上乘法规则可得直积群G?F1?F2。G的单位元素为e?e1e2，元素g??的逆元素为g???g1?g2?。
当群G有子群G1和G2，若满足 （1）G的每个元素g??能够唯一地表示成
?1?1?1g???g1?g2?，
其中g1??G1,g2??G2； （2）G的乘法规则满足
g1?g2??g2?g1?。
即G1与G2的元素，按G的乘法规则可以交换。这时G1和G2元素乘法规则已包含在G的乘法规则中。则称群G是其子群G1和G2的直积，G?G1?G2。G1和G2称为群G的直积因子。当然G1和G2本身并不一定是阿贝尔群。
当群G1和G2是群G的直积因子时，G的单位元素e是G1和G2唯一的公共元素。而且G1和G2都是G的不变子群。
设e'?G1?G2，而且e?e，则在直积群G?G1?G2中有两个不同的元素ee和ee
''''
都对应e?G，这与G的每个元素g??可以唯一表为g1?g2?矛盾。故只有e?G1?G2。
对任意g1??G1，与g1?同类的元素为
(g1?'g2?')g1?(g1?'g2?')?1?g1?'g2?'g1?(g2?')?1(g1?')?1
1?g1?'g1?g1??G1。 ?'故G1是G的不变子群，同理G2也是G的不变子群。商群GG1同构于群G2。
例23 6阶循环群Z6?{a,a2,a3,a4,a5,a6?e}，是二阶循环群G1?{a3,a6?e}和三
阶循环群Z6?{a2,a4,a6?e}的直积群。即Z6?G1?G2
G1和G2唯一的公共元素都是单位元素e，G1和G2都是Z6的不变子群，Z6G1同构于G2。
反之，D3有子群G1?{e,d,f},G2?{e,a}，D3的元素g??可以唯一地表为g1?g2?，如c?da,b?fa,? 。但按D3的乘法规则，g1?g2??g2?g1?，即ad?b,af?c,?，不满足直积的条件，故D3不是其子群G1和G2的直积群。子群G2?{e,a}也不是D3的不变子群。
下面讨论群的半直积。
设群G1?{g1?},G2?{g2?}，G1的自同构群为A(G1),v?A(G1)，如果存在一个把
G2映为A(G1)的同态映射?，?:G2?A(G1)
即?:g2??vg2?，则可定义G1和G2的半直积群G，G?G1?sG2
G的元素g??可唯一地写为g????g1?g2??
其中g1?和g2?为有序的。G的乘法定义为下面证明G确实是一个群。
因A(G1)是G1的自同构群，故对vg2??A(G1)，有
g??g?'?'??g1?g2???g1?'g2?'???g1?vg2?(g)g2?g2?,?'1?
vg2?(g1?g1?')?vg2?(g1?)vg2?(g1?')
'vg2?g2?'(g1?)?vg2?(v2?(g1?))
由此可以证明G的乘法满足结合律，
\\(?g1?g2???g1?'g2?'?)?g1?g2????g1?vg2?(g1?')vg\1?\2?'2?g2?\\(g1?)g2?g2?'g2??\1?\2???g1?vg2?(g1?')vg'(g)g2?g2?'g???g1?g2??(?g1?'g2?'??gg?)2?
设g10和g20分别是G1和G2的单位元素，则由于vg2?是G1的自同构映射，有
vg2?(g10)?g10，vg20(g1?)?g1?
容易证明G的单位元素为?g10g20?，即
?g10g20??g1?g2????g1?g2???g10g20???g1?g2??
元素?g1?g2??的逆元素为?vg?1(g1?)g2??，
2??1?11?1?1?g1?g2???vg?1(g1??)g2????g1?vg20(g1?)g20???g10g20?，
2?1?1?vg?1(g1??)g2???g1?g2????vg?1(g10)g20???g10g20?，
2?2?故G?G1?sG2确实构成一个群。
群G1和G2的半直积也可写成：
G?G1?sG2
等等，其中G1和G2的顺序不能颠倒。
若G?G1?sG2,G1是G的不变子群。因为与G1中元素?g1?'g20?同类的元素为
?11?1g???g1?'g20?g????g1?g2???g1?'g20??vg?1(g1??)g2??
2?1??g1?vg2?(g1?')g1??g20??G1
因此G1是G的不变子群。
但一般说来，并不是的不变子群。当也是的不变子群时，半直积就退化为直积。可见半直积群比直积群条件弱，有些群不能作为简单群的直积，但却可以作为半直积。 例24 群，取，，的自同构群有元素
存在到上的同构（特殊的同态）映射， 因此可以定义半直积，其元素为
并且群的乘法规则与完全相同，如 因此