2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅰ)
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
(1)C (2)B (3)B (4)A (5)B (6)D (7)B (8)D (9)C (10)A (11)A (12)D 二、填空题
(13)-6 (14)
x2y216?8?1 (15)83 (16)27 三、解答题 (17)解:
(Ⅰ)设数列{a2a32n}的公比为q,由a23?9a26得a3?9a4所以q?19。 由条件可知a>0,故q?13。 由2a3a11?2?1得2a1?3a2q?1,所以a1?3。 故数列{an}的通项式为an=
13n。 (Ⅱ )bn?log3a1?log3a2?...?log3an
??(1?2?...?n)??n(n?1)
2故
1b??211n?1)??2(n?n?1) nn(1b?1?...?1??2((1?1)?(12?13)?...?(1n?12nn?1))??n?1 1b2bn2所以数列{12b}的前n项和为?nn?1 n(18)解:
(Ⅰ)因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD2
+AD2
= AB2
,故BD?AD
又PD?底面ABCD,可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故 PA?BD
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(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则
A?1,0,0?,B0,3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。
uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则{uuurn?AB?0,uuurn?PB?0,????
即 ?x?3y?03y?z?0
因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC的法向量为m,则 {uuurm?PB?0,uuurm?BC?0,
可取m=(0,-1,?3) cosm,n??427 ??727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?(19)解
27 7(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的平率为率的估计值为0.3。
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为率的估计值为0.42
22?8=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品10032?10?0.42,所以用B配方生产的产品的优质品100(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
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所以uuuMAr=(-x,-1-y), uuuMBr=(0,-3-y), uuABur=(x,-2).
再由题意可知(uuuMAr+uuuMBr)? uuABur=0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=14x2-2. (Ⅱ)设P(x1'110,y0)为曲线C:y=4x2-2上一点,因为y=2x,所以l的斜率为2x0
因此直线l的方程为y?y120?2x0(x?x0),即x0x?2y?2y0?x0?0。
则O点到l的距离d|2y2?0?x0|2.又x0?14x20?2,所以 0?4y1d?2x20?4124x2?(x0?4?)?2,
0?42x20?4当x20=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2. (21)解:
?(x?1x?lnx)(Ⅰ)f'(x)?(x?1)2?bx2 ?f(1)?1,
由于直线x?2y?3?0的斜率为?1?2,且过点(1,1),故???f'(1)??12,即
? ?b?1,?a1
解得a?1,b?1。
??2?b??2,(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?lnxx?1?1x,所以
f(x)?(lnxk1(k?1)(x2?1)x?1?x)?1?x2(2lnx?x)。 考虑函数h(x)?2lnx?(k?1)(x2?1)x(x?0),则 h'(x)?(k?1)(x2?1)?2xx2。
(i)设k?0,由h'(x)?k(x2?1)?(x?1)2x2知,当x?1时,h'(x)?0。而h(1)?0,故
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1h(x)?0; 21?x1当x?(1,+?)时,h(x)<0,可得 h(x)>0 21?xlnxklnxk从而当x>0,且x?1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
x?1xx?1x12 '(ii)设0
1?k11h(1)=0,故当x?(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。 21?k1?x当x?(0,1)时,h(x)?0,可得
(iii)设k?1.此时h(x)>0,而h(1)=0,故当x?(1,+?)时,h(x)>0,可得设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-?,0] (22)解:
(I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
'1 h(x)<0,与题21?xADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ?ACAB因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。
(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2,AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=90,故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 (23)解:
(I)设P(x,y),则由条件知M(
0
2
1(12-2)=5. 2XY,).由于M点在C1上,所以 22?x??2cos?,???x?4cos???2??? 即 ?? yy?4?4sin?????2?2sin????2?
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