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∴点Q坐标为(?3+13?3?13,3)或(,3)。 22②若MN=OM=2,则在Rt△MNH中,
根据勾股定理得:MN=NH+MH,即2=(4-m)+(2-m), 化简得m-6m+8=0,解得:m1=2,m2=4(不合题意,舍去)。
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?3?17。 2?3+17?3?17∴点Q坐标为(,2)或(,2)。
22∴yQ=2,由-xQ-3xQ+4=2,解得xQ?2
③若ON=OM=2,则在Rt△NOH中,
根据勾股定理得:ON=NH+OH,即2=(4-m)+m, 化简得m-4m+6=0,∵△=-8<0,
∴此时不存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形。
综上所述,存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标
为
(
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?3+13?3?13?3+17?3?17,3)或(,3)或(,2)或(,2)。 222214. (2012山东临沂13分)如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置. (1)求点B的坐标;
(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°。 又∵OA=OB=4,
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∴OC=
311=23。 OB=×4=2,BC=OB?sin60°=4?222∴点B的坐标为(﹣2,﹣23)。 (2)∵抛物线过原点O和点A.B,
∴可设抛物线解析式为y=ax+bx,将A(4,0),B(﹣2,﹣23)代入,
得
2
?3a=?????16a+4b=06,解得。 ??4a?2b=?23??b=23??3?∴此抛物线的解析式为y=?(3)存在。
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标
为(2,y)。
①若OB=OP,则2+|y|=4,解得y=±23, 当y=23时,
在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD=∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上。 ∴y=23不符合题意,舍去。 ∴点P的坐标为(2,﹣23)。
②若OB=PB,则4+|y+23|=4,解得y=﹣23。 ∴点P的坐标为(2,﹣23)。
③若OP=BP,则2+|y|=4+|y+23|,解得y=﹣23。 ∴点P的坐标为(2,﹣23)。
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣23)。
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