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∴当t=
5152
s时，S取得最大值，最大值为cm。 22（3）不存在。理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
11S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12。 22662
由（2）可知，S△AQP=?t2+6t，∴?t2+6t=12，化简得：t﹣5t+10=0。
55则有S△AQP=
∵△=（﹣5）﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。 （4）存在。
假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形， 则有AQ=PQ=BP=2t。
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴△APD∽△ABC。
2
APPDAD10?2tPDAD，即。 ????ABBCAC106868解得：PD=6?t，AD=8?t，
55818∴QD=AD﹣AQ=8?t?2t=8?t。
55∴
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD+PD=PQ，即（8?（2t），
化简得：13t﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=
2
2
2
2
2
18622
t）+（6?t）=5525。 1325。 13∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=由（2）可知，S△AQP=?t2+6t
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（?t2+6t）=2×=∴存在时刻t=
65652400。 1692524002
，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm。 1316919. （2012湖南常德10分）如图，已知二次函数y?(x?2)(ax?b)的图像过点A(－4，3），
48B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
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（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人y?1(x?2)(ax?b)中， 481?3?(?4?2)(?4a?b)???4a?b?72?a?1348 ? ， 整理得：? 解得?
14a?b?32b??20???4?(4?2)(4a?b)?48? ∴二次函数的解析式为：y?1(x?2)(13x?20)，即：4813215x?x?。 488613215 （2）由 x?x??0整理得 13x2?6x?40?0，解得
488620x1=?2，x2=。
13y??20? 0?。 ∴C （－2，0），D ?，?13? ∴AC=4+9 ，BC=36+16，AC+ BC=13+52=65，AB=64+1=65， ∴ AC+ BC=AB 。∴△ACB是直角三角形。 （3）设P(x， 2
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13151321520，则PH=x2?x?， HD=x?x?)（x<0）?x。
4886488613又∵AC=13， BC=213，
1321520x?x??xPHHD488613 ①当△PHD∽△ACB时有：，即：， ??ACCB13213整理得
13251255020解得x1??，，此时，x?x??0， x2?（舍去）
244391313学大教育济南分公司质控
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y1?35。 135035。 ， ）1313 ∴P1(?2013215?xx?x?DHPH86， ②当△DHP∽△ACB时有：， 即：13 ??48ACBC13213 整理
时，y1?1321730512220，此x?x??0，解得x1??， x2?（舍去）
488781313284。 13122284。 ， ）13135035122284，P2(?。 ， ）， ）13131313 ∴P2(? 综上所述，满足条件的点有两个即P1(?2
10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x＋2x＋3。
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（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。
设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
??3k+b=0，解得：?k=?1。 ?b=3??b=3∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。
（3）存在。点M的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。 11. （2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B。
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE。∴△ABE∽△ECM。 （2）解：能。
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF。∴AE≠AM。 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM（SAS）。∴CE=AB=5。 ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1。 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA。
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