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三角形四边形存在性问题
1. （2012海南省I13分）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点
A在该图象上，
OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON （1）求该二次函数的关系式.
（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①证明：∠ANM=∠ONM
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明
理由.
【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为
y=a?x?4??4。
又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴0=a?0?4??4，解得a=。 ∴二次函数的关系式为y=221411?x?4?2?4，即y=x2?2x。 441。 2 （2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，－3）代入得?3=6k，解得k=? ∴直线OA的解析式为y=-x。
把x=4代入y=?x得y=?2。∴M（4，－2）。 又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。 ∴S?ANO?12121?6?4?12。 2 （3）①证明：过点A作AH⊥l于点H，，l与x轴交于点D。则
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设A（x0， x02?2x0）,
1412x0?2x0?1?4则直线OA的解析式为y=x=?x0?2?x。
x0?4? x0?8） ?x0）则M（4，，N（4，，H（4，。 x02?2x0）
∴OD=4，ND=x0，HA=x0?4，NH=x02?x0。 ∴
1414tan?ONM=4?x?4?4?x0?4?4OD4HAx0?4?， tan?ANM===20??。 NDx0NH1x2?xx0?4x0+64x0?x0?4?x0004∴tan?ONM=tan?ANM。∴∠ANM=∠ONM。 ②能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=45， ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即x0?4=x02?x0。
0
14x0=4。 整理，得x02?8x0+16=0，解得 ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
OA2+ON2=AN2。情况2，若∠AON是直角，则 ∵
2?1?1?? OA=x0+?x02?2x0?，ON2=42+x02，AN2=?x0?4?+?x02?2x0+x0? ，
?4??4?222?1?1??x0+?x02?2x0?+42+x02=?x0?4?+?x02?2x0+x0?。 ∴ ?4??4?22222整理，得x03?8x02?16x0=0，解得x0=0， x0=4?42。 舍去x0=0， 。 x0=4?42（在l左侧）
y0=4。 当 x0=4+42时， 4+42， 4）∴此时存在点A（ ，使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴
MDOD。 ?ODND学大教育济南分公司质控
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∵OD=4，MD=8?x0，ND=x0，∴
8?x04?。 4x0整理，得x02?8x0+16=0，解得 x0=4。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。 综上所述，当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，存在点A
（ ，使∠AON是直角，即△ANO为直角三角形。 4+42， 4）
2. （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
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【答案】解：（1）当y=0时，﹣x+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
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?b1=3?k1=3，解得。 ??b=3?k+b=0?1?11∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。 （2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
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①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，
3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标
为（1+7，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点
Q3的坐标为（1﹣7，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+7，﹣3），Q3（1
﹣7，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴
COCA。 =BFAB由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=10，AB=4。
1210310610=，解得BF=。∴BB′=2BF=，
5BF45AOCOCA由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。 ==B?EBEBB?∴∴
131012363621==。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=． B?EBE121055555∴B′点的坐标为（﹣
2112，）。 55设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
4?k=?k2+b2=42???13。 ?2112，解得?48?k+b=22??b=5?52?13?∴直线B'D的解析式为：y=448x+。 1313联立B'D与AC的直线解析式可得：
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