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图11
例22 桌面上有n只杯子（n为奇数），全部倒放着。每次翻动n－1只杯子，经过有限次翻动后，能否使所有的杯子全部口朝上？
分析 这是生活中的问题，可以通过理想化抽象，构建该问题的数学模型。把一只杯子杯口朝下记做1，杯口朝上记做－1。则问题的初始状态为 1n。每次翻动n－1只杯子，即乘以(?1)n?1，翻动m次即乘以［(?1)n?1］m. n只杯子全部杯口朝上，这个状态为(?1)n.
于是，问题转化为：若m,n?N,n为奇数，等式 1n·［(1)?是否成立？
因为左边的值为1 ，右边的值为－1 ，等式不可能成立。这说明，经过有限次翻动，不能使所有杯子全部口朝上。
（2）可能性抽象。所谓可能性抽象，是指在研究问题的过程中，拟抽象出来的概念无法确定其是否存在。这时，先假定其存在，由此建立起一定的数学理论，然后在实践中
n?1］m＝(?1)n
检验这种理论的合理性，从而确立或否定这个数学概念。一般来说，当拟抽象的数学概念虽然远远脱离了现实事物，但理论上有着存在的可能性时，往往先假定它的存在，产生某种概念，这种方法叫做可能性抽象或存在性抽象。例如，无理数、负数、虚数、自然数集无限伸展等，这些概念都是用可能性抽象的方法建立起来的。在数学问题解决中，也常常用到可能性抽象。
例23 证明：32?5?32?5＝1
分析 用可能性抽象方法。从理论上看，实数 32?5 与32?5是必然存在的，故设
x?32?5?32?5，
然后，运用数学推理求x的值。两边立方得 x3?(2?5)?(2?5)?3x3(2?5)(2?5)， 整理得 x3?3x?4?0， 即有 (x?1)(x2?x?4)?0，
由于 x2?x?4＞0， 所以 x?1，从而有 32?5?32?5＝1.
（3）弱抽象与强抽象。由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人们认识事物的基本规律。这个规律应用在数学中，就是弱抽象与强抽象。
所谓弱抽象，就是舍弃研究对象的一些特征或属性，而保留某一特征或属性，形成更为普遍、更为一般的事物的抽象方法。对数学概念进行弱抽象，其内涵逐渐减少，外延逐渐增大，就得到更具普遍性的新概念；对数学原理进行弱抽象，逐渐减少对条件的限制，就得到范围更普遍、更一般的新的原理。
例如，对“矩形”概念进行弱抽象：舍弃“内角是直角”的属性，仅保留“对边互相平行”的属性，就得到了“平行四边形”这个更广泛的新概念，矩形则成为平行四边形概念的特例。又如，对于乘法公式 (a?b)(a?b)?a2?b2，开始阶段学生仅知道式中的a，b是实数或单项式，后来逐步认识到a，b也可以是多项式以至任何代数式，这个认识过程也是一种弱抽象过程，是从特殊到一般的认识过程。
与弱抽象相反，强抽象是从一般到特殊的认识过程。所谓强抽象，是指强化研究对象的一些特征或属性，即增加一些特征或属性，从而得到范围较小、较特殊的对象的抽象方法。对数学概念进行强抽象，增加其内涵，减少其外延，就得到作为原概念特例的一种新概念；对数学原理进行强抽象，加强对条件的限制，就得到原命题的一个特殊命题。
例如，在二项式定理的展开式
0n1n?1n?1nn (a?b)n?Cna?Cnab?????Cnabn?1?Cnb
中，n是任意自然数。如果运用强抽象，分别令n?2和n?3，则得到 (a?b)2?a2?2ab?b2 和 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3， 这两个公式都是二项式展开式的特例，是两个范围较小的命题。
由前面的例子可以看出，在数学概念序列和原理序列中，弱抽象是由特殊概念和特殊原理过渡到一般概念和一般原理的重要方法，强抽象则是由一般概念和一般原理过渡到特殊概念和特殊原理的重要方法。
（二）数学推理方法
与物理学、化学、生物学等实验科学不同，数学是一门演绎科学，推理是数学中最重要、最经常的活动。数学中的推理方法，主要有基本推理方法、合情推理方法、逻辑推理方法等三类。作为数学推理的基本方法，主要是分析法与综合法。
1．数学基本推理方法——分析法与综合法
分析法与综合法都是逻辑思维的基本方法。分析法着眼于从细部揭示事物的本质、了解事物的内部规律；综合法着眼于从总体上把握事物的本质与规律。
（1）分析法。所谓分析法，是把研究对象在思维中分解为各个组成部分、方面、层次、因素，分别加以考察，从而认识事物各方面的本质和属性的方法。分析法的思维方向是“化整为零”。例如，人们在研究平行四边形的性质时，总是分别研究它的边的性质、角的性质、对角线的性质；在研究方程时，总是先把它分解为代数方程和超越方程，再把代数方程分解为有理方程和无理方程，把有理方程分解为整式方程和分式方程，把整式方程分解为一元一次方程、一元二次方程??，把超越方程分解为指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等，然后逐一进行考察和研究，从而认识各种方程的概念、特点和解法，这里运用的方法就是分析法。
把事物的各个部分从总体中分离出来作单独研究，着眼于各部分的性质，这是分析法的基本特征。运用分析法，不仅有助于深入事物的内部，把握事物的内部结构和内部规律，也有助于排除表面现象，了解事物的本质属性和内在联系。正因为如此，分析法在数学中有着广泛的应用。