ST<60 60-ST 50-ST
表明如果最后股票价格介于50美元70美元之间，跨式组合将遭受损失。
10.13 制作一个表格来说明执行价为K1及K2（K2>K1）的看跌期权所构成的牛市差价收益。
买入一个执行价格K1看跌期权同时卖出一个执行价格K2看跌期权构成牛市差价。收益计算如下： 股票价格范围 ST≥K2 K1 10.16 “合式差价由4个期权构成，其中两个期权生成远期和约的长头寸，另两个期权用于生成远期和约的短头寸。”解释以上观点。 盒式差价是由一个由看涨期权构成的牛市差价和一个由看跌期权构成的熊市差价组成。教材中例举的盒式差价的构成有：a）执行价格为K1的看涨期权多头寸；b)执行价格为K2的看涨期权短头寸；c)执行价为K2的看跌期权长头寸；d)执行价为K1的看跌期权短头寸。a)和d)形成一个交割价为K1的远期合约长头寸；b)和c)形成一个履约价为K2的远期合约短头寸。两个远期和约组合友谊为K2- K1。 看跌期权长头寸收益 0 0 K1-ST 看跌期权短头寸收益 0 ST- K2 ST- K2 整体收益 0 -( K2-ST ) -( K2- K1) 11 第11章 二叉树简介练习题及参考答案 11.2 用单步二叉树来说明无套利定价理论对于欧式期权的定价过程。 在无套利条件下，建立一个由期权和股票头寸组成的无风险证券组合。通过假设组合收益等于无风险利率，可给期权估价。若用风险中性定价，选择各树叉的概率使得股票的期望收益等于无风险利率。然后通过计算期权的期望收益并用无风险利率将其折现得到期权价格。 11.3 股票期权的Delta含义是什么？ 股票期权的Delta度量期权价格对股票价格微小变化的敏感程度。具体来说，它是股票期权价差与标的股票价差之比。 （11.4） 某股票的当前价格为50美元，已知在6个月后的价格将变为45美元或55美元，无风险利率为10%（连续复利）。执行价格为50美元，6个月期限的欧式看跌期权价格为多少？ 11.5某股票的当前价格为100美元，在今后6个月内，股票价格或上涨10%或下跌10%，无风险利率为8%（连续复利）。执行价格为100美元，1年的欧式看涨期权价格为多少？ 这时u=1.10,d=0.90,△t=0.5,r=0.08,因此有 图S11.1：问题11.5二叉树： 股票价格走势如图S11.1树.可如图表中所示，从树梢到树根倒过来计算，得期权价格为9.61美元。期权价格也可用方程(11.10)直接计算得到： [0.7041*21+2*0.7041*0.2959*0+0.2959*0]e 2 2 -1*0。08*0。5 =9.61 或者9.61美元。 11.6 考虑练习题11.5的情形，执行价格为100美元，1年的看跌期权的价格为多少？验证所得结果满足看跌-看涨期权平价关系式。 图S11.2显示如何利用11.5题中二叉树定价看跌期权。期权的价值为1.92美元。期权价格也可由方程(11.10)直接计算得到： [0.7041*0+2*0.7041*0.2959*1+0.2959*19]e 2 2 -1*0。08*0。5 =1.92 股票价格加上看跌期权价格是100+1.92=$101.92。执行价格现值加上看涨期权价格是100e-0.08*0.5+9.61=$101.92。两者相等，说明看跌-看涨平价关系式成立。 11.7 以波动率表达的计算u和d 的公式是什么？ 及。 11.8考虑在期权期限内，股票价格变动服从两步二叉树的情形。解释为什么用股票及期权构造的交易组合不可能在整个期权的有限期内一直保持无风险。 无风险证券组合由期权短头寸和△股股票多头寸组成。由于△在期权期限内变化，因此无风险投资组合也必须随之改变。 11.12 某股票的当前价格为50美元，在今后两个3个月内，股票价格或上涨6%或下跌5%，无风险利率为5%（连续复利）。执行价格为51美元，6个月期限的欧式看涨期权价格为多少？ 描述股票价格行为的树形图如图S11.3。风险中性价格上涨概率为p： 。 从最高最后结点（对应于两次上涨）的收益为56.28-51=5.18，其它的点收益为0。 图S11.3:题11.2二叉树： 它也可以如图S11.1所示，由树倒推计算得到。 图中每个节点较小的数为看涨期权价格。 11.13 考虑练习题11.12中的情形，执行价格为51美元，6个月看跌期权的价格为多少？验证看跌-看涨期权平价关系式的正确性。如果看跌期为美式期权，在二叉树的节点上提前行使期权会是最优吗？ 看跌期权二叉树估计值如图S11.4所示。若到达中间最后节点，得收益51-50.35=0.65，到达下面最后节点的收益为5-45.125=5.875。因此期权价值为 。 这也可以由二叉树倒算得到，如与S11.2所示。 由题11.2，看跌期权价值加股票价格得 看涨期权价值加执行价格现值为 证明了看跌-看涨平价关系式。 图S11.4：题11.3二叉树 为检验期权是否该提前执行，将各个节点计算的期权价值与立即行使期权所得收益进行比较。在节点C，立即行使期权的收益是51-47.5=3.5，大于2.866，期权应在该节点行使。期权不该在节点A及节点B行使。 （11.14） 一只股票的当前价格为25美元，已知在两个月后股票变为23没有或27美元，无风险利率为每年10%（连续复利）。假定ST为股票在两个月后的价格，对于这一股票的某衍生产品在两个月后收益为ST2，此衍生产品的价格是多少？ 11.15 计算用于计算外货期权的二叉树中的u、d及p，二叉树的步长为1个月，本国的利率为5%，国外利率为8%，汇率的波动率为每年12%。 这里， 12 第12章 维纳过程和伊藤引理练习题及参考答案 12.1 我们如果说一个地区的温度服从马尔科夫过程，其含义是什么？你认为温度确实可以服从马尔科夫过程吗？ 12.2 基于股票价格的历史数据，交易准则的收益是否总是可以高于平均收益？讨论这一问题。 12.3 假定一家公司的现金头寸用百万元来计量，并服从广义维纳过程，现金头寸的漂移率为1.5，方差率为4.0。公司必须初始现金头寸要多高才能使得公司在一年后的现金流为负值的概率小于5%。 12.5 考虑变量S服从以下过程 dS=μdt+σdz 在最初的3年中，μ=2，σ=3；在接下来的3年中，μ=3，σ=4。如果变量的初始值为5，变量在第6年末的概率分布是什么？ 12.6假设G为股票价格S和时间的函数，σS和σG分别是 S和G的函数。求证，当S的预期收益增加λσS时，G的预期收益也会增加λσG。这里的λ为常数 12.7 股票A和股票B均服从几何布朗运动，在任何短时间内两者的变化相互无关。由一只股票A和一只股票B所构成的证券组合的价值是否服从集合布朗运动？解释原因。 12.9 短期利率r服从以下随机过程 dr=a(b-r)dt+rcdz 其中a,b,c为正常数，dz为维纳过程。描述这一过程的特性。 12.10 假定股票价格S服从集合布朗运动 dS=μSdt+σdz 变量Sn服从什么过程？求证Sn也服从几何布朗运动。 12.11 假定x为在T时刻支付1美元的无息债券的收益率，以连续复利为计量。假定x服从以下随机过程 dx=a(x0-x)dt+sxdz 其中a,x0,s为正常数，dz为维纳过程。无息债券价格服从什么过程？ 13 第13章 布莱克-斯科尔斯-默顿模型练习题及参考答案 13.1 不莱克-斯科尔斯股票期权定价模型中对于一年后股票价格概率分布的假设是什么?对于一年内连续复利收益率的假设是什么? 布莱克-斯科尔斯期权定价模型假设一年内（或任意其它未来时间）股票价格的概率分布为对数正态。并假设这年股票连续复利收益率为正态分布。 13.2 股票价格的波动率为年30%，在一个交易日后价格变化百分比的标准差为多少？ 在时间△t内价格变化的百分比的标准差为σ错误!未找到引用源。,其中σ为波动率。这里 σ=0.3，并假设一年252个交易日，△t=1/252=0.004， 因此 σ错误!未找到引用源。 或1.9%。 13.3 解释风险中性定价定理。 当期权或其它衍生品的价格由标的资产价格来表示，它与风险偏好无关。因此在风险中性条件下期权价格相同，市场中也确实如此。因此估价期权时可以假设风险中性。这样简化了分析。在风险中性前提下，所有证券期望收益等于无风险利率。而且，在风险中性条件下，预计未来现金的恰当的折现率为无风险利率。 13.4 计算一个3个月期的无息股票欧式看跌期权的价格，这里期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美元，无风险利率为年率10%，波动率为年率30%。 13.5 若在两个月后股票价格预计将支付股息1.5美元，练习题13.4中结果会如何变化？ 这时， 且， 欧式看跌期权价格为