an＋1n所以＝， ann＋1故an＝anan－1a2n－1n－2122··…··a1＝··…··＝. an－1an－2a1nn－1233n[B组 能力提升] 11．已知数列{an}满足a1＝，a1＋a2＋…＋an＝n2an，则an为( ) 2A．an＝C．an＝1n n＋1 B．an＝D．an＝1n－1 n＋1 解析：∵a1＋a2＋…＋an＝n2an，① ∴a1＋a2＋…＋an－1＝ (n－1)2an－1(n≥2，n∈N*)，② ①－②得an＝n2an－(n－1)2an－1. ann－1即＝(n≥2，n∈N*)． an－1n＋1a2a3a4an1234n－2n－1∴···…·＝××××…××. a1a2a3an－13456nn＋1an即＝a121，又a1＝，∴an＝211＝成立， 21， 当n＝1时，a1＝∴an＝答案：A 1(n∈N*)． 2．已知{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋anan＋1＝0，则{an}的通项公式为an＝( ) 1A. n1C. n＋1B．(D．(nn－1) n＋1nn) n＋1解析：∵(n＋1)a2n＋1－na2n＋anan＋1＝0. ∴(an＋1＋an)·[(n＋1)an＋1－nan]＝0. 5 / 7 ∵an>0，∴an＋1＋an>0. an＋1nn∴＝，即an＋1＝an. ann＋1n＋1∴an＝n－1n－1n－2n－1n－2n－3211an－1＝·an－2＝…＝···…···a1＝nnn－1nn－1n－232n(n≥2)． 11当n＝1时，a1＝也成立，∴an＝. nn答案：A 3．对于数列{an}，满足a1＝1，an＋1＝an＋解析：∵an＋1－an＝n＋1－n， ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)，即an＝n(n≥2)，将n＝1代入也成立，∴an＝n. 答案：n 4．设数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，则通项an＝________. 解析：数列{nan}的前n项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)．① 其前n－1项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)．② ①－②，得nan＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，即an＝3n＋3. 当n＝1时也满足上式．故an＝3n＋3. 答案：3n＋3 5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：(1)证明：法一：因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. an＋1＋1所以＝2(n∈N*)． an＋1所以数列{an＋1}是等比数列． 6 / 7 1，则an＝________. n＋1＋n 法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. an＋1＋12an＋1＋1∵＝＝an＋1an＋1∴{an＋1}是等比数列． (2)由(1)可知an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 6．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝an，求证：{cn}是等比数列． 3n－1an＋1＝2(n∈N*)， 证明：(1)由Sn＋1＝4an＋2得Sn＝4an－1＋2，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(4an＋2)－(4an－1＋2)＝4an－4an－1(n≥2)， 即an＋1－2an＝2(an－2an－1)， ∴bn＝2bn－1(n≥2，n∈N*)，又b1＝a2－2a1＝3， ∴{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知an＋1－2an＝bn＝3·2n－1，于是有 an－21an－1＝3·2n－2， 21an－1－22an－2＝3·2n－2， 22an－2－23an－3＝3·2n－2， … 2n－2a2－2n－1a1＝3·2n－2. 将以上n－1个等式叠加得 an－2n－1a1＝(n－1)·3·2n－2， ∴an＝3(n－1)2n－2＋2n－1a1＝(3n－1)·2n－2(n≥2，n∈N*)， an又n＝1时也满足此式，∴cn＝＝2n－2， 3n－1∴{cn}是等比数列，公比是2. 7 / 7