1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导 1.2.1 1.
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集. 疑难疏引 函数概念的正确理解:
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)=|x|,
2
与f(x)=x是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径. 函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.
(4)值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定. 2.函数的三要素
构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.
疑难疏引 核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A,值域C以及从A到C的对应法则f,称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数. 3
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足不等式a
(3)满足不等式a≤x
疑难疏引 无穷大是个符号,不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b],都称数a和数b为区间的端点:a为左端点,b为右端点,称b-a为区间长度.这样,某些以实数为元素的集合就有三种表示法:集合表示法、不等式表示法和区间表示法. ●案例1
( )
A. f(x)=x,g(x)=2nx2n
B. f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈ZC. f(x)=x-2,g(t)=t-2
1?x2
D. f(x)=,g(x)=1+x
1?x
【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同;B中虽然定义域和值域都相同,但对应法则不同;C中尽管表示自变量的两个字母不同,但两个函数的三个要素是一致的,因此它们是同一函数;D中两函数的定义域不同.C符合. 【溯源】 给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否相同;二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时,两函数才可称为同一函数.