(4)设曲线积分
?Lx[f(t)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且
f(0)?0,则f(x)等于
e?x?ex(A)
2ex?e?x(C)?1
2
ex?e?x(B)
2ex?e?x(D)1?
2
?123???(5)已知Q?24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ????369??(A)t?6时P的秩必为1
(C)t?6时P的秩必为1
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sinx??
(B)t?6时P的秩必为2 (D)t?6时P的秩必为2
21?cos)x. xxdx.
22 (2)求
?xexe?1x(3)求微分方程xy??xy?y,满足初始条件y
四、(本题满分6分) 计算
x?1?1的特解.
???2xzdydz?yzdzdx?zdxdy,其中?是由曲面z??2x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的
表面外侧.
五、(本题满分7分)
(?1)n(n2?n?1)求级数?的和. n2n?0?
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有
一个零点.
(2)设b?a?e,证明ab?ba. 七、（本题满分8分）
22已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形
22f?y12?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度
fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?
(1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
1?xe,???x???. 21994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)limcot?(x?0
11?)= _____________. sinxx
(2)曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
x?2ux1(3)设u?esin,则在点(2,)处的值为_____________.
?x?yy??xx2y2(4)设区域D为x?y?R,则??(2?2)dxdy=_____________.
abD222(5)已知α?[1,2,3],β?[1,,],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
??sinx43423422cosxdx,N?(sinx?cosx)dx,P?(xsinx?cosx)dx,则有 (1)设M??2??????1?x2??222?1123(A)N?P?M (C)N?M?P
(B)M?P?N (D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (3)设常数??0,且级数(A)发散 (C)绝对收敛 (4)limx?0?2n
? (B)必要条件而非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
?a收敛,则级数?(?1)nn?1ann??2
n?1
2 (B)条件收敛
(D)收敛性与?有关
atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)
?2,其中a2?c2?0,则必有
(B)b??4d (D)a??4c
(A)b?4d (C)a?4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
2x?cost() (1)设 y?tcost(?)?2t212u1?dyd2y,求、2在t?的值.
2cuduosdxdx (2)将函数f(x)?(3)求
11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数. 41?x2dx?sin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
xdydz?z2dxdy222,计算曲面积分??其中是由曲面及z?R,z??R(R?0)两平面所围x?y?RS222x?y?zS成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?xy]dy?0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
?1f(x)设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且lim?0,证明级数?f()绝对收敛.
x?0nxn?12
七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）
**设A为n阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A?A?时,证明A?0.