名师精心整理 助您一臂之力
称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . ①f(x)=2 ②f(x)=3 ③f(x)=x ④f(x)=x+2
-x
-x
3
2
36.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x-2x+e-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 .
37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= . 39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则a= .
2
3
3x2
40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .
41.(2015·天津,理11)曲线y=x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.
42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .
43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中
2
x
A(0,0),B,C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的
面积为________________.
44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=
与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=.
3
2
2
46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x-ax+2. (1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0 ,x>0. (1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间; (2)对任意x∈ ,+∞均有f(x)≤,求a的取值范围. 注:e=2.718 28…为自然对数的底数. 名师精心整理 助您一臂之力 5 名师精心整理 助您一臂之力 48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点; (2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值; (2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值; (3)若a=0,0 (2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由. 51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=ecos x,g(x)为f(x)的导函数. (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈ 时,证明f(x)+g(x) -x≥0; x 3 2 (3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+,2nπ+内的零点,其中n∈N,证明2nπ+-xn<. 52.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明: (1)f'(x)在区间存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 53.(2019·全国1·文T20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f'(x)为f(x)的导数. (1)证明:f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. 54.(2019·全国2·理T20)已知函数f(x)=ln x-. (1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点; (2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=e的切线. 55.(2019·天津·文T20)设函数f(x)=ln x-a(x-1)e,其中a∈R. x x 名师精心整理 助您一臂之力 6 名师精心整理 助您一臂之力 (1)若a≤0,讨论f(x)的单调性; (2)若0 ①证明f(x)恰有两个零点; ②设x0为f(x)的极值点,x1为f(x)的零点,且x1>x0,证明3x0-x1>2. 56.(2018·全国2·理T21)已知函数f(x)=e-ax. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. x 2 57.(2018·全国2·文T21度)已知函数f(x)=x-a(x+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. 58.(2018·天津·理T20)已知函数f(x)=a,g(x)=logax,其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-xln a的单调区间; (2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)) x 32 处的切线平行,证明x1+g(x2)=-; (3)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 59.(2018·天津·文T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值; (3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6 有三个互异的公共点,求d的取值范围. 2 x 60.(2018·北京·理T18文T19)设函数f(x)=[ax-(4a+1)x+4a+3]e. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 61.(2018·江苏·T19)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0),且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”. 名师精心整理 助您一臂之力 7 名师精心整理 助您一臂之力 (1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x+2x-2不存在“S点”; (2)若函数f(x)=ax-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值; 2 2 (3)已知函数f(x)=-x+a,g(x)=“S点”,并说明理由. 2 .对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在 62.(2018·全国1·理T21)已知函数f(x)=-x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: x 63.(2018·全国1·文T21)已知函数f(x)=ae-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥ 时,f(x)≥0. 64.(2018·全国3·理T21)已知函数f(x)=(2+x+ax)ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-1 2 65.(2018·全国3,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0. 66.(2018·浙江·T22)已知函数f(x)= -ln x. . (1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln 2; (2)若a≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 67.(2018·江苏·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ. 名师精心整理 助您一臂之力 8