普通物理学习题1-5答案

2-11 半径为R的半球形碗内有一粒质量为m的小钢球. 若小钢球以角速度?在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高?

解:设距碗底有高h,则小钢球圆周运动的半径为r=R2?(R?h)2,小球受力重力mg,和指向碗中心的压力N,则有

Ncos??mg?0, (1) Ncos??mr?2, (2)

sin??r/R. (3)

g可解得: h=R?2.

?2-12 一根柔软而均匀的链条,长为l,单位长度的质量为?. 将此链条跨过一无摩擦的轻而小的定滑轮,一边的长度为x(?l/2),另一边的长度为l?x. 现

2x?lg. l证:以链条为研究对象,分析受力,任意时刻下垂部分长为x,质量?x,另一边的长度为l?x,质量?(l-x),则有

T-?xg=?xa, (1) ?(l-x)-T=?(l-x)a. (2)

l?2x可解得: a?g.

l2-13 气球及载荷的总质量为m,以加速度a向上升,问气球的载荷增加多少,才能使它以相同的加速度向下降落.

解:气球及载荷系统受到向上升力T和重力

T-mg=ma. (1) 载荷增加X,它以相同的加速度向下降落

(X+m)g-T=(X+m)a. (2) 消去T,可得:

将链条由静止释放,试证明链条的加速度为 a? X=2ma. g?a2-14 长为l的细绳一端系一质量为m的小球, 使小球从悬挂着的位置以初速度为?0在铅直平面内绕细绳的另一端开始作圆周运动. 用牛顿定律求小球在任意位置时的线速度和绳的张力(不计空气阻力)

解:取小球为对象,设任意位置时的线速度为?,小球受重力和绳的张力T,线与垂直方向夹角为?,,根据牛顿定律,有

d?切向: mgsin?=m, (1)

dt法向: N?mgcos??m?2r. (2) 对(2)求导数,得

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dNd??d?. (3) ?mgsin??2mdtdtrdtd?由(1)得 ?gsin?. (4)

dtd?又 ??r. (5)

dt 由(4),(5)得小球在任意位置时的线速度v

2?2lg(cos??1). ???0将(4)与.(5)代入(3),再积分可得张力 N=m(

. A O B 2-15 一质量为m的小球最初位于如图所示 ? r 的A点,然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面 C ADCB下滑. 试求小球过C点的角速度和对圆 D 弧表面的作用力. 题2-15图

解:取小球为对象,设任意位置时的线速度为?,小球受重力和绳的张力T,线与垂直方向夹角为?,,根据牛顿定律,有

d?切向: mgsin?=m, (1)

dt法向: N?mgcos??m?2r. (2) 对(2)求导数,

dNd??d?. (3) ?mgsin??2mdtdtrdtd?由(1)得 ?gsin?. (4)

dtd?又 ??r, (5)

dt 由(4),(5)得小球在任意位置时的线速度

?02l?2g?3gcos?).

2?2lg(cos??1). ???0角速度 ???r?2gsin?. r将(4)与.(5)代入(3),再积分可得圆弧表面的对小球作用力 N=3mgsin?.

2-16 质量为m的物体以初速度?0沿水平方向抛出. 试求在任意时刻作用在物体上的切向力和法向力.

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解:取物体为对象,设任意位置时的线速度为?,小球受重力和碗的支持力T,根据牛顿定律,小球的运动方程为

1r = ?0ti?gt2j,

2dr?==?0i?gtj,

dt???02??gt?. a?d?=?gj dt2g2td?at==, (1)

222dt?0?gtan?a?a?=

由牛顿第二定律:

F??ma?=22(g2t)2g?. (2) 2(gt)2?v02mg1?(?0gt,

)2 Fn?man?mg. gt1?()2?02-17 一质量为10kg的质点在力F=120t+40(N)作用下沿x轴作直线运动.在t=0时,质点位于x0?5.0m, 初速度?0?6.0m/s. 求质点在任意时刻的速度和位置.

解:由 F=m

d? (1) dt?vv0md???(120t+40)dt

0t得 ???0??60t2?40t??6t2?4t?6. (2) 又 ??

dx. (3) dtt0?xx0dx???dt??(6t2+4t +6)dt.

0t 得: x=2t3?2t2?6t?5. (4)

2-18 如图所示,一斜面的底边长l?2.1m,倾角为?. 一个质量为m的物体从斜面顶端由静止开始下滑,摩擦系数为??0.14. 问:倾角?多大时物体从斜

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面顶端滑到底端的时间最短,这个时间是多少?

解: 沿斜面方向有

d?mgsin?-? mgcos?=m. (1)

dt积分, 得 ?=(gsin?-? gcos?)t. m dx又 ??, (2)

dt1积分得 x??gsin???gcos??t2. (3) l

2x2?l2lcos?= ; sin?=. (4) 题2-18图

xx将(4)代入(3),整理可得当?=49o时,t取最小值t=0.99s. 2-19一质量为m的物体,最初静止于x0处. 在力F??动,试证它在x处的速度为 ??k的作用下沿直线运x22k11(?). mxx0d?, dt证: 由于 F=m

有 dt=

dxm, d???Fkdx即 ?d???. 2mxkdx积分,得 ??d????2.

mx0x0?x即 ??2k11(?). mxx02-20 初速度为?0、质量为m的物体在水平面内运动,所受阻力的大小正比于质点速率的平方根,求物体从开始运动到停止所需的时间.

解:阻力F=-k?, 则有

-k?=m即 dt=?mk?d?, dtd?.

积分: ?tmv1d??dt. ??v00k? 16

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