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新人教版初中数学中考总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考冲刺：观察、归纳型问题—知识讲解（提高）
【中考展望】
主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主．归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.
【方法点拨】
观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到. 考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．
1．数式归纳
题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．
解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
2．图形变化归纳
题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．
解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．
由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.
【典型例题】 类型一、数式归纳
1．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令 S=1+2+3+…+98+99+100 ① S=100+99+98+…+3+2+1 ② ①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050
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请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= ．
【思路点拨】 根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可． 【答案与解析】
解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①， 则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②， ①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
2
整理得，n+2n-168=0， 解得n1=12，n2=-14（舍去）． 故答案为：12． 【总结升华】 本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键．
举一反三：
【观察、归纳型问题 例5】
【变式】如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；
（3）求第n行各数之和． 【答案】
（1）64， 8， 15；
22
（2）n-2n+2， n， 2n-1； （3）2n?3n?3n?1．
类型二、图形变化归纳
2．课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕着某一顶点旋转所形成的有关问题． 实验与论证
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设旋转角∠A1A0B1＝α(α＜∠A1A0A2)，?3，?4，?5，?6所表示的角如图所示．
(1)用含α的式子表示角的度数：?3?________，?4?________，?5?________；
(2)如上图①～图④中，连结A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An?1与正n边形A0B1B2…Bn?1重合(其中，A1与B1重合)，现将正n边形A0B1B2…Bn?1绕顶点A0逆时针旋转??0?????180°??． n? (3)设?n与上述“?3，?4，…”的意义—样，请直接写出?n的度数；
(4)试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】
（1）要求?的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（2）结合图形比较容易得到被A0H垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（3）要探究?n的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（4）要探究正n边形中被A0H垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破.
【答案与解析】
解：(1)60°??，?，36°??．
(2)存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图①．图①中有直线A0H垂直平分A2B1(如图所示)，
证明如下：
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证法一：证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形， ∴A0A2＝A0B1，
∴∠A0A2Bl＝∠A0B1A2．
又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°， ∴∠HA2Bl＝∠HB1A2，
∴A2H＝B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上． 又∵A0A2＝A0B1，
∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上． ∴直线A0H垂直平分A2B1．
证法二：证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形， ∴A0A2＝A0B1，
∴∠A0A2B1＝∠A0BlA2． 又∠A0A2H＝∠A0B1H，
∴∠HA2Bl＝∠HB1A2． ∴HA2＝HB1．
在△A0A2H与△A0B1H中，
∵A0A2＝A0B，HA2＝HB1，∠A0A2B＝∠A0B1H， ∴△A0A2H≌△A0B1H， ∴∠A2A0H＝∠B1A0H，
∴A0H平分等腰三角形A0A2B1的顶角∠A2A0B1，
∴直线A0H垂直平分A2B1．
选图②．图②中有直线A0H垂直平分A2B2(如图所示)，
证明如下： ∵A0B2＝A0A2，
∴∠A0B2A2＝∠A0A2B2．
又∵∠A0B2B1＝∠A0A2A3＝45°， ∴∠HB2A2＝∠HA2B2， ∴HB2＝HA2，
∴点H在线段A2B的垂直平分线上． 又∵A0B2＝A0A2，
∴点A0在线段A2B2的垂直平分线上． ∴直线A0H垂直平分A2B2．
(3)当n为奇数时，
当n为偶数时，?n??．
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