概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
22.在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定个人带的礼物都不相同。晚会期间个人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X的均值和方差。
24.设 二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
36.设随机变量X与Y都只能取两个值，试证：X与Y的独立性与不相关性是等价的。
38．设 二维随机变量(X,Y)服从单位圆内的均匀分布，其联合密度函数为
?1,y?x,0?x?1;p(x,y)??
?0,其他求E(X),E(Y),Cov(X,Y).
28.设X1与X2独立同分布，其共同分布为
?12?,x?y2?1;p(x,y)???
22??0,x?y?1试证X与Y不独立且X与Y不相关.
45．设随机变量X1,X2,?,Xn中任意两个的相关系数都是试证：???1/(n?1)。
习题3.5 P197
2. 设 二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为
N(?,?2)。试求
Y?aX1?bX2与
Z?aX1?bX2的相关系数。
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?3x,0?x?1,0?y?x; p(x,y)??0,其他?概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
试求条件密度函数p(yx).
4. 设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?2122?xy,x?y?1; p(x,y)??4??0,其他.求条件概率P{Y?0.75|X?0.5}.
5. 已知随机变量Y的密度函数为
6. 设随机变量X服从(1,2)上的均匀分布,在X=x的条件下,随机变量Y的条件分布是参数为x的指数分布,证明:XY服从参数为1的指数分布.
8. 设X与Y相互独立,分别服从参数为?1和?2的泊松分布,试求E(X|X+Y=n).
第四章 大数定律与中心极限定理
习题4.1 P208
2. 设离散随机变量X服从几何分布
P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,?.
试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(X).
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?5y4,0?y?1;pY(y)??
?0,其他.在给定Y=y条件下,随机变量X的条件密度函数为
?3x2,0?x?y?1;?p(x|y)??y3
?0,其他.?求概率P(X>0.5).
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8. 试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.
11. 设连续随机变量X的密度函数如下:
13. 设X1,X2,?,Xn独立同分布,且都服从
1nN(?,?)分布,试求X??Xi的分布.
ni?12p(x)?其
1???(x??)中
??22,???x???,
参
数
习题4.2
P216
3. 设{Xn}为独立随机变量序列,且
??0,???????,常记为X~Ch(?,?).
(1) 试证X的特征函数为exp{i?t??|t|},且利用此结果证明柯西分布的可加性; (2) 当
P(X1?0)?1,
P(Xn??n)?12,P(Xn?0)?1?,n?2,3,?,nn??0,??1时,记Y?X,试证?X?Y(t)??X(t)??Y(t),但是X与Y不独立.
(3) 若X1,X2,?,Xn相互独立,且服从同一柯西分
布,试证:
证明{Xn}服从大数定律.
4. 在伯努利试验中,事件A出现的概率为p,令
1(X1?X2???Xn)与X1同分布. n?1,若在第n?1次试验中A出现;Xn??
0,其他.?证明{Xn}服从大数定律.
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7. 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其共同分布为
10. 设{Xn}为独立的随机变量序列,证明:若诸Xn的方差?n一致有界,即存在常数c,使得
2?n?c,n?1,2,?,
2则{Xn}服从大数定律.
习题4.3
2k1P(Xn?2)?k,k?1,2,?.
k2试问{Xn}是否服从大数定律?
8. 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其共同分布为
P224
14. 设随机变量序列{Xn}独立同分布,其密度函数
?1/?,0?x??;为p(x)??
0,其他.?其中常数??0,令Ynmax(X1,X2,?,Xn),试证
PYn????.
P(Xnk)?c,k?2,3,?.
k2?lg2k其中c?(1)?1, ?2k?2k?lgk??试问{Xn}是否服从大数定律?
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