小学奥数基础教程（三年级）
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例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2， (9-6)÷3=9÷3-6÷3。
此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如 (1000-688-136)÷8 =1000÷8-688÷8-136÷8 =125-86-17=22。
(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即 a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=?? 例4计算下列各题： (1)(182+325)÷13； (2)(2046-1059-735)÷3； (3)775÷25； (4)2275÷13÷5。 解：(1)(182＋325)÷13 =182÷13+325÷13 =14+25 =39；
(2)(2046-1059-735)÷3 =2046÷3-1059÷3-735÷3 =682-353-245 =84； (3)775÷25 =(700+75)÷25 =700÷25+75÷25 =28+3=31； (4)2275÷13÷5 =2275÷5÷13 =455÷13 =35。
3.乘、除法混合运算的性质
(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如， a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：
括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即
a×(b×c)=a×b×c， a×(b÷c)=a×b÷c。
括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 a÷(b×c)=a÷b÷c， a÷(b÷c)=a÷b×c。 添加括号情形：
加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
a×b×c=a×(b×c)， a×b÷c=a×(b÷c)， a÷b÷c=a÷(b×c)， a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即
(a×b)÷(c×d) =(a÷c )×(b÷d) =(a÷d)×(b÷c)。
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。 例5计算下列各题： (1)136×5÷8 =136÷8×5 =17×5=85； (2)4032÷(8×9) =4032÷8÷9 =504÷9=56； (3)125×(16÷10) =125×16÷10 =256×4 (4)2560÷(10÷4) =2560÷10×4 ＝1024； (5)2460÷5÷2 =2460÷(5×2) =2460÷10 =246； (6)527×15÷5 =527×(15÷5) =527×3 =1581；
(7)(54×24)÷(9×4) =(54÷9)×(24÷4) = 6×6=36。 练习20
用简便方法计算下列各题。
1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。
2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。
3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。 4.(1)(128+1088)÷8； (2)(1040-324-528)÷4； (3)1125÷125； (4)4505÷17÷5。
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5.(1)384×12÷8； (2)2352÷(7×8)； (3)1200×(4÷12)； (4)1250÷(10÷8)； (5)2250÷75÷3； (6)636×35÷7； (7)(126×56)÷(7×18)。 答案与提示练习20
1.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。 2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。 3.(1)55；(2)56。
4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。 5.(1)576；(2)42；(3)400；(4)1000； (5)10；(6)3180；(7)56。 第21讲 乘法中的巧算
上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。 1.乘11，101，1001的速算法
一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得 a×11=a×(10＋1)=10a＋a， a×101=a×(101＋1)=100a＋a， a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。 例如，38×101=38×100＋38=3838。 2.乘9，99，999的速算法
一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得 a×9=a×(10-1)=10a-a， a×99=a×(100-1)=100a- a， a×999=a×(1000-1)=1000a-a。 例如，18×99=18×100-18=1782。
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千??的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千??与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。 例1 计算： (1) 356×1001 ＝356×(1000＋1) ＝356×1000＋356 ＝356000＋356 ＝356356； (2) 38×102 ＝38×(100＋2) ＝38×100＋38×2 ＝ 3800＋76 ＝3876；
(3)526×99 ＝526×(100-1) ＝ 526×100-526 ＝ 52600-526 ＝52074； (4)1234×9998
＝ 1234×(10000-2) ＝1234×10000-1234×2 ＝12340000-2468 ＝12337532。
3.乘5，25，125的速算法
一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到 例如，76×25＝7600÷4＝1900。
上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千??的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。 例2 计算： (1) 186×5
=186×(5×2)÷2 =1860÷2 =930； (2) 96×125
=96×(125×8)÷8 =96000÷8=12000。
有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。 例3 计算： (1) 84×75
=(21×4)×(25×3) =(21×3)×(4×25) =63×100=6300； (2)56×625
=(7×8)×(125×5) =(7×5)×(8×125) =35×1000=35000； (3) 33×125
=32×125+1×125 =4000+125=4125； (4) 39×75
=(32+1)×125 =(40-1)×75 =40×75-1×75 =3000-75=2925。
4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法
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个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：
仿此同学们自己算算下面的乘积 35×35＝______ 55×55＝______ 65×65＝______ 85×85＝______ 95×95＝______
这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位 数相乘的计算，例如，
练习21
用速算法计算下列各题： 1.(1) 68×101； (2) 74×201； (3) 256×1002； (4) 154×601。 2.(1)45×9； (2)457×99； (3)762×999； (4) 34×98。 3.(1)536×5； (2)437×5； (3)638×15； (4)739×15。 4.(1)32×25； (2)17×25； (3)130×25； (4)68×75； (5)49×75； (6)87×75。 5.(1)56×125； (2)77×125； (3)66×375； (4) 256×625； (5)555×375； (6)888×875。 6.(1)295×295； (2)705×705。 答案与提示练习21
1.(1)6868；(2)14874；(3)256512；(4)92554。 2.(1)405；(2)45243；(3)761238；(4)3332。 3.(1)2680；(2)2185；(3)9570；(4)11085。 4.(1)800；(2)425；(3)3250； (4)5100；(5)3675；(6)6525。 5.(1)7000；(2)9625；(3)24750； (4)160000；(5)208125；(6)777000。 6.(1)87025；(2)497025。
第22讲 横式数字谜(二)
第2讲我们初步介绍了简单的横式填数问题。这一讲再继续介绍一些此类问题。
例1 在下列各式的□里填上合适的数字：
(1)237÷□□=□； (2)368÷□□=□□； (3)14×□□=3□8。
解：(1)将除法变为乘法，可以转化为“在 237=□□×□
中填入合适的数字”的问题。因为 237＝237×1＝79×3，所以只有一种填法：
(2)问题可以转化为“在368＝□□×□□中填入合适的
数字”的问题。因为
368＝368×1＝184×2＝92×4 ＝46×8＝23×16，
其中只有368＝23×16是两个两位数之积。因而有如下两种填法：
(3)由被乘数的个位数是4，积的个位数是8知，乘数的个位数只可能为2或7，再由被乘数的十位数是1，积的百位数是3知，乘数的十位数不能填大于3的数字。所以乘数只可能是12，17，22，27，32或37。经试算，符合题意的填法有两种：
例2 在下列各式的□里填上合适的数： (1)□÷32＝7??29； (2)480÷156＝□??12； (3)5367÷□＝83??55。
分析：根据有余数的除法(简称带余除法)知： 被除数=不完全商×除数＋余数， 被除数-余数=不完全商×除数。
上式说明，(被除数-余数)是不完全商或除数的倍数，并且有
(被除数-余数)÷除数=不完全商， (被除数-余数)÷不完全商=除数。 由此分析，可以得到如下解法。 解：(1)由7×32＋29＝253，得到如下填法：
(2)由(480-12)÷156＝3，得到如下填法：
(3)由(5367-55)÷83＝64，得到如下填法：
例3 在下列各式的□里填入合适的数字，使等式成立： (1)□5□×23＝5□□2； (2)9□□4÷48=□0□。
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分析与解：(1)首先，从个位数分析，可知被乘数的个位数只能为4。
其次，从首位数分析知，被乘数□5□的首位数只能为2。因为，被乘数的首位取1时，×23的积
的首位小于5，而取大于2的数时，积的首位数大于5。
由254×23＝5842知，填法如下：
(2)将问题转换成“在 9□□4=□0□×48中填数”的问题。
类似(1)的分析，被乘数□0□的首位只能填2，个位数只能填3或8。由
203×48＝9744和208×48＝9984 知，有如下两种填法：
例4 在下列各题中，每一题的四个□中都填同一个数字，使式子成立： (1)□+□＞□×□； (2)□+□=□×□； (3)□+□＜□×□。
解：解这类题全靠对数的深刻认识和对四则运算的熟练掌握。
(2)只能填2或0：
(3)除0，1，2三数字外，其他数字3，4，?，9都可填。
例5 在下式的□中填入合适的数字，并要求等式中没有重复的数字：
756=□×□□□。
分析与解：将乘法式子改写成除法式子： 756÷□=□□□。
因为被除数与商都是三位数，所以除数不能大于被除数的百位数7。又因为题目要求没有重复数字，所以除数只可能是2，3，4。逐一试除，得到 756÷2＝378， 756÷3＝252， 756÷4＝189。
只有756÷4＝189没有重复数字，所以只有一种填法：
例6 将0，1，2，3，4，5，6七个数字分别填入下式的
七个□里，使算式成立： □□÷□=□×□=□□。
分析与解：为了方便，我们将原式分成两个等式，并在□里填上字母，以示区别：
其中字母A，B，C，D，E，F，G分别代表0～6这七个数字。由①式看出，E不能是0，否则B也是0，不合题意。再由②式看出，F，G既不能是0，也不能是1。F，G只能是 2，3，4，5或6，考虑到E≠0，再除去有重复数字的情形，满足②式的数字填法只有3×4＝12。此时，还剩下0，5，6三个数字未填。因为在①式中A，C都不能是0，所以B是0，由60÷5＝12，得到符合题意的唯一填法：
练习22
1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数： (1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。
2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字： (1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字： (1)448÷□□=□； (2)2822÷□□=□□； (3)13×□□= 4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数：
(1) □÷32＝8??31； (2)573÷32＝□??29； (3)4837÷□＝74??27。
5.在下列各式的□中填入合适的数字，要求各等式中无重复的数字： (1)342÷□□=□； (2)□×□□□＝567。
6.将1～9这九个数字分别填入下式中的九个□里，使连等式成立：
□÷□=□÷□=□□□÷□□。 答案与提示 练习22
4.(1)287；(2)17；()65。