小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全

小学奥数基础教程(三年级)

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例如,(8+4)÷2=8÷2+4÷2, (9-6)÷3=9÷3-6÷3。

此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如 (1000-688-136)÷8 =1000÷8-688÷8-136÷8 =125-86-17=22。

(3)在连除中,可以交换除数的位置,商不变。即 a÷b÷c=a÷c÷b。

在这个性质中,除数的个数可以推广到更多个的情形。例如,

168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=?? 例4计算下列各题: (1)(182+325)÷13; (2)(2046-1059-735)÷3; (3)775÷25; (4)2275÷13÷5。 解:(1)(182+325)÷13 =182÷13+325÷13 =14+25 =39;

(2)(2046-1059-735)÷3 =2046÷3-1059÷3-735÷3 =682-353-245 =84; (3)775÷25 =(700+75)÷25 =700÷25+75÷25 =28+3=31; (4)2275÷13÷5 =2275÷5÷13 =455÷13 =35。

3.乘、除法混合运算的性质

(1)在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如, a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。

(2)在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则去括号情形:

括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变。即

a×(b×c)=a×b×c, a×(b÷c)=a×b÷c。

括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。即 a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷(b÷c)=a÷b×c。 添加括号情形:

加括号时,括号前是“×”时,原符号不变;括号前是“÷”时,原符号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。即

a×b×c=a×(b×c), a×b÷c=a×(b÷c), a÷b÷c=a÷(b×c), a÷b×c=a÷(b÷c)。

(3)两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。即

(a×b)÷(c×d) =(a÷c )×(b÷d) =(a÷d)×(b÷c)。

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。 例5计算下列各题: (1)136×5÷8 =136÷8×5 =17×5=85; (2)4032÷(8×9) =4032÷8÷9 =504÷9=56; (3)125×(16÷10) =125×16÷10 =256×4 (4)2560÷(10÷4) =2560÷10×4 =1024; (5)2460÷5÷2 =2460÷(5×2) =2460÷10 =246; (6)527×15÷5 =527×(15÷5) =527×3 =1581;

(7)(54×24)÷(9×4) =(54÷9)×(24÷4) = 6×6=36。 练习20

用简便方法计算下列各题。

1.(1)12×4×25;(2)125×13×8;(3)125×56;(4)25×32×125。

2.(1)125×(80+4);(2)(100-8)×25;(3)180×125;(4)125×88。

3.(1)1375÷25;(2)12880÷230。 4.(1)(128+1088)÷8; (2)(1040-324-528)÷4; (3)1125÷125; (4)4505÷17÷5。

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5.(1)384×12÷8; (2)2352÷(7×8); (3)1200×(4÷12); (4)1250÷(10÷8); (5)2250÷75÷3; (6)636×35÷7; (7)(126×56)÷(7×18)。 答案与提示练习20

1.(1)1200;(2)13000;(3)7000;(4)100000。 2.(1)10500;(2)2300;(3)22500;(4)11000。 3.(1)55;(2)56。

4.(1)152;(2)47;(3)9;(4)53。 5.(1)576;(2)42;(3)400;(4)1000; (5)10;(6)3180;(7)56。 第21讲 乘法中的巧算

上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质,它是乘、除法中巧算的理论根据,也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。 1.乘11,101,1001的速算法

一个数乘以11,101,1001时,因为11,101,1001分别比10,100,1000大1,利用乘法分配律可得 a×11=a×(10+1)=10a+a, a×101=a×(101+1)=100a+a, a×1001=a×(1000+1)=1000a+a。 例如,38×101=38×100+38=3838。 2.乘9,99,999的速算法

一个数乘以9,99,999时,因为9,99,999分别比10,100,1000小1,利用乘法分配律可得 a×9=a×(10-1)=10a-a, a×99=a×(100-1)=100a- a, a×999=a×(1000-1)=1000a-a。 例如,18×99=18×100-18=1782。

上面讲的两类速算法,实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千??的数时,将乘数表示成上述整十、整百、整千??与一个较小的自然数的和或差的形式,然后利用乘法分配律进行速算的方法。 例1 计算: (1) 356×1001 =356×(1000+1) =356×1000+356 =356000+356 =356356; (2) 38×102 =38×(100+2) =38×100+38×2 = 3800+76 =3876;

(3)526×99 =526×(100-1) = 526×100-526 = 52600-526 =52074; (4)1234×9998

= 1234×(10000-2) =1234×10000-1234×2 =12340000-2468 =12337532。

3.乘5,25,125的速算法

一个数乘以 5,25,125时,因为 5×2=10,25×4=100,125×8=1000,所以可以利用“乘一个数再除以同一个数,数值不变”及乘法结合律,得到 例如,76×25=7600÷4=1900。

上面的方法也是一种“凑整”,只不过不是用加减法“凑整”,而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千??的数时,将乘数先乘上这个较小的自然数,再除以这个较小的自然数,然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。 例2 计算: (1) 186×5

=186×(5×2)÷2 =1860÷2 =930; (2) 96×125

=96×(125×8)÷8 =96000÷8=12000。

有时题目不是上面讲的“标准形式”,比如乘数不是25而是75,此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。 例3 计算: (1) 84×75

=(21×4)×(25×3) =(21×3)×(4×25) =63×100=6300; (2)56×625

=(7×8)×(125×5) =(7×5)×(8×125) =35×1000=35000; (3) 33×125

=32×125+1×125 =4000+125=4125; (4) 39×75

=(32+1)×125 =(40-1)×75 =40×75-1×75 =3000-75=2925。

4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

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个位是5的两个相同的两位数相乘,积的末尾两位是25,25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如:

仿此同学们自己算算下面的乘积 35×35=______ 55×55=______ 65×65=______ 85×85=______ 95×95=______

这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位 数相乘的计算,例如,

练习21

用速算法计算下列各题: 1.(1) 68×101; (2) 74×201; (3) 256×1002; (4) 154×601。 2.(1)45×9; (2)457×99; (3)762×999; (4) 34×98。 3.(1)536×5; (2)437×5; (3)638×15; (4)739×15。 4.(1)32×25; (2)17×25; (3)130×25; (4)68×75; (5)49×75; (6)87×75。 5.(1)56×125; (2)77×125; (3)66×375; (4) 256×625; (5)555×375; (6)888×875。 6.(1)295×295; (2)705×705。 答案与提示练习21

1.(1)6868;(2)14874;(3)256512;(4)92554。 2.(1)405;(2)45243;(3)761238;(4)3332。 3.(1)2680;(2)2185;(3)9570;(4)11085。 4.(1)800;(2)425;(3)3250; (4)5100;(5)3675;(6)6525。 5.(1)7000;(2)9625;(3)24750; (4)160000;(5)208125;(6)777000。 6.(1)87025;(2)497025。

第22讲 横式数字谜(二)

第2讲我们初步介绍了简单的横式填数问题。这一讲再继续介绍一些此类问题。

例1 在下列各式的□里填上合适的数字:

(1)237÷□□=□; (2)368÷□□=□□; (3)14×□□=3□8。

解:(1)将除法变为乘法,可以转化为“在 237=□□×□

中填入合适的数字”的问题。因为 237=237×1=79×3,所以只有一种填法:

(2)问题可以转化为“在368=□□×□□中填入合适的

数字”的问题。因为

368=368×1=184×2=92×4 =46×8=23×16,

其中只有368=23×16是两个两位数之积。因而有如下两种填法:

(3)由被乘数的个位数是4,积的个位数是8知,乘数的个位数只可能为2或7,再由被乘数的十位数是1,积的百位数是3知,乘数的十位数不能填大于3的数字。所以乘数只可能是12,17,22,27,32或37。经试算,符合题意的填法有两种:

例2 在下列各式的□里填上合适的数: (1)□÷32=7??29; (2)480÷156=□??12; (3)5367÷□=83??55。

分析:根据有余数的除法(简称带余除法)知: 被除数=不完全商×除数+余数, 被除数-余数=不完全商×除数。

上式说明,(被除数-余数)是不完全商或除数的倍数,并且有

(被除数-余数)÷除数=不完全商, (被除数-余数)÷不完全商=除数。 由此分析,可以得到如下解法。 解:(1)由7×32+29=253,得到如下填法:

(2)由(480-12)÷156=3,得到如下填法:

(3)由(5367-55)÷83=64,得到如下填法:

例3 在下列各式的□里填入合适的数字,使等式成立: (1)□5□×23=5□□2; (2)9□□4÷48=□0□。

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分析与解:(1)首先,从个位数分析,可知被乘数的个位数只能为4。

其次,从首位数分析知,被乘数□5□的首位数只能为2。因为,被乘数的首位取1时,×23的积

的首位小于5,而取大于2的数时,积的首位数大于5。

由254×23=5842知,填法如下:

(2)将问题转换成“在 9□□4=□0□×48中填数”的问题。

类似(1)的分析,被乘数□0□的首位只能填2,个位数只能填3或8。由

203×48=9744和208×48=9984 知,有如下两种填法:

例4 在下列各题中,每一题的四个□中都填同一个数字,使式子成立: (1)□+□>□×□; (2)□+□=□×□; (3)□+□<□×□。

解:解这类题全靠对数的深刻认识和对四则运算的熟练掌握。

(2)只能填2或0:

(3)除0,1,2三数字外,其他数字3,4,?,9都可填。

例5 在下式的□中填入合适的数字,并要求等式中没有重复的数字:

756=□×□□□。

分析与解:将乘法式子改写成除法式子: 756÷□=□□□。

因为被除数与商都是三位数,所以除数不能大于被除数的百位数7。又因为题目要求没有重复数字,所以除数只可能是2,3,4。逐一试除,得到 756÷2=378, 756÷3=252, 756÷4=189。

只有756÷4=189没有重复数字,所以只有一种填法:

例6 将0,1,2,3,4,5,6七个数字分别填入下式的

七个□里,使算式成立: □□÷□=□×□=□□。

分析与解:为了方便,我们将原式分成两个等式,并在□里填上字母,以示区别:

其中字母A,B,C,D,E,F,G分别代表0~6这七个数字。由①式看出,E不能是0,否则B也是0,不合题意。再由②式看出,F,G既不能是0,也不能是1。F,G只能是 2,3,4,5或6,考虑到E≠0,再除去有重复数字的情形,满足②式的数字填法只有3×4=12。此时,还剩下0,5,6三个数字未填。因为在①式中A,C都不能是0,所以B是0,由60÷5=12,得到符合题意的唯一填法:

练习22

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数: (1)5×□=2□; (2)6×□=3□。

2.将3~9中的数填入下列各式,使算式成立,要求各式中无重复的数字: (1)□÷□=□÷□; (2)□÷□>□÷□。

3.在下列各式的□中填入合适的数字: (1)448÷□□=□; (2)2822÷□□=□□; (3)13×□□= 4□6。

4.在下列各式的□中填入合适的数:

(1) □÷32=8??31; (2)573÷32=□??29; (3)4837÷□=74??27。

5.在下列各式的□中填入合适的数字,要求各等式中无重复的数字: (1)342÷□□=□; (2)□×□□□=567。

6.将1~9这九个数字分别填入下式中的九个□里,使连等式成立:

□÷□=□÷□=□□□÷□□。 答案与提示 练习22

4.(1)287;(2)17;()65。

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