小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全

小学奥数基础教程(三年级)

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每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16 3.提示:四个顶点数之和为15×4-(1+2+?+8)=24,四个顶点数有3,6,7,8和4,5,7,8两种可能。经试验只有左下图一个解。

4.提示:每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于

(1+2+?+8)÷7=18。 填法见右上图。(填法不唯一)

5.提示:顶上的数重叠2次,其它数都重叠1次。 (1+2+?+7)×2+顶上数=每条线上的和×5, 56+顶上数=每条线上的和×5。

由上式等号左端是5的倍数,推知“顶上数”=4。所以每条线上的三个数之和为 (56+4)÷5=12。

经试验填法如上图。(填法不唯一) 6.与例5类似(见上图)。 第18讲 能被2,5整除的数的特征

同学们都知道,自然数和0统称为(非负)整数。同学们还知道,两个整数相加,和仍是整数;两个整数相乘,乘积也是整数;两个整数相减,当被减数不小于减数时,差还是整数。两个整数相除时,情况就不那么简单了。如果被除数除以除数,商是整数,我们就说这个被除数能被这个除数整除;否则,就是不能整除。例如, 84能被2,3,4整除,因为84÷2=42,84÷3=28,84÷4=21,42,28,21都是整数。

而84不能被5整除,因为84÷5=16??4,有余数4。也不能被13整除,因为84÷13=6??6,有余数6。 因为0除以任何自然数,商都是0,所以0能被任何自然数整除。

这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征,也就

是讨论什么样的数能被2或5整除。 1.能被2整除的数的特征

因为任何整数乘以2,所得乘数的个位数只有0,2,

4,6,8五种情况,所以,能被2整除的数的个位数一定是0,2,4,6或8。也就是说,凡是个位数是0,2,4,6,8的整数一定能被2整除,凡是个位数是1,3,5,7,9的整数一定不能被2整除。

例如,38,172,960等都能被2整除,67,881,235等都不能被2整除。

能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数。

0,2,4,6,8,10,12,14,?就是全体偶数。 1,3,5,7,9,11,13,15,?就是全体奇数。

偶数和奇数有如下运算性质: 偶数±偶数=偶数, 奇数±奇数=偶数, 偶数±奇数=奇数, 奇数±偶数=奇数, 偶数×偶数=偶数, 偶数×奇数=偶数, 奇数×奇数=奇数。

例1在1~199中,有多少个奇数?有多少个偶数?其中奇数之和与偶数之和谁大?大多少?

分析与解:由于1,2,3,4,?,197,198,199是奇、偶数交替排列的,从小到大两两配对:

(1,2),(3,4),?,(197,198),

还剩一个199。共有198÷2=99(对),还剩一个奇数199。所以

奇数的个数=198÷2+1=100(个),

偶数的个数=198÷2=99(个)。

因为每对中的偶数比奇数大1,99对共大99,而199-99=100,所以奇数之和比偶数之和大,大100。

如果按从大到小两两配对:

(199,198),(197,196),?,(3,2),那么怎样解呢?

例2(1)不算出结果,判断数(524+42-429)是偶数还是奇数?

(2)数(42□+30-147)能被2整除,那么,□里可填什么数?

(3)下面的连乘积是偶数还是奇数? 1×3×5×7×9×11×13×14×15。 解:根据奇偶数的运算性质:

(1)因为524,42是偶数,所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数,所以(524+42-429)是奇数。

(2)数(42□+30-147)能被2整除,则它一定是偶数。因为147是奇数,所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中

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的30是偶数,所以,数42□必为奇数。于是,□里只能填奇数1,3,5,7,9。

(3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇数,由1×3为奇数,推知1×3×5为奇数??推知 1×3×5×7×9×11×13×15 为奇数。因为14为偶数,所以

(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数,即 1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。 由例2得出:

(1)在全部是加、减法的运算中,若参加运算的奇数的个数是偶数,则结果是偶数;若参加运算的奇数的个数是奇数,则结果是奇数。

(2)在连乘运算中,只要有一个因数是偶数,则整个乘积一定是偶数。

例3在黑板上先写出三个自然数3,然后任意擦去其中的一个,换成所剩两个数的和。照这样进行100次后,黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何?它们的乘积是奇数还是偶数?为什么? 解:根据奇偶数的运算性质知:

第一次擦后,改写得到的三个数是6,3,3,是“二奇一偶”;

第二次擦后,改写得到的三个数是6,3,3或6,9,3或6,3,9,都是“二奇一偶”。

以后若擦去的是偶数,则改写得到的数为二奇数之和,是偶数;若擦去的是奇数,则改写得到的数为一奇一偶之和,是奇数。总之,黑板上仍保持“二奇一偶”。 所以,无论进行多少次擦去与改写,黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积 奇数×奇数×偶数=偶数。

故进行100次后,所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数,它们的乘积一定是偶数。 2.能被5整除的数的特征

由0×5=0,2×5=10,4×5=20,6×5=30,8×5= 40,?可以推想任何一个偶数乘以5,所得乘积的个位数都是0。

由1×5=5,3×5=15,5×5=25,7×5=35,9×5= 45,?可以推想,任何一个奇数乘以5,所得乘积的个位数都是5。

因此,能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说,凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除;凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如,870,6275,1234567890等都能被5整除,264,3588等都不能被5整除。

例4由0,3,5写成的没有重复数字的三位数中,有哪些能被5整除?

解:因为个位数为0或5的数才能被5整除,所以由0,3,5写成的没有重复数字的三位数中,只有350,530,305三个数能被5整除。

例5下面的连乘积中,末尾有多少个0? 1×2×3×?×29×30。

解:因为2×5=10,所以在连乘积中,有一个因子2和一个因子5,末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数,等于1~30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中,因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2,8含三个因子2),所以,连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5,10,15,20,25,30,这些数中共含有七个因子 5(其中25含有两个因子5)。所以,1×2×3×?×29×30的积中,末尾有七个0。 练习18

1.在20~200的整数中,有多少个偶数?有多少个奇数?偶数之和与奇数之和谁大?大多少?

2.不算出结果,直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数:

(1)1+2+3+4+5; (2)1+2+3+4+5+6+7; (3)1+2+3+?+9+10; (4)1+3+5+?+21+23; (5)13-12+11-10+?+3-2+1。

3.由4,5,6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数?

4.两个质数之和是13,这两个质数之积是多少? 5.下面的连乘积中,末尾有多少个0? 20×21×22×?×49×50。

6.用0,1,2,3,4,5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中,能被5整除的有几个?能被2整除的有几个?能被10整除的有几个? 答案与提示 练习18

1.解:偶数有(200-20)÷2+1=91(个),

奇数有(200-20)÷2=90(个),偶数之和比奇数之和大1×90+20=110。

2.(1)奇数;(2)偶数;(3)奇数; (4)偶数;(5)奇数。 3.6个。

提示:卡片6可以看成9,能被2整除的有 564,654,594,954,456,546。 4.22。

解:13为奇数,它必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2,所以这两个质数中的偶数是2,奇数是13-2=11,乘积为2×11=22。 5.9个0。

6.有9个能被5整除;有13个能被2整除;有5个能被10整除。

第19讲 能被3整除的数的特征

上一讲我们讲了能被2,5整除的数的特征,根据这些特征,很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。

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同学们自然会问,有没有类似的简便方法,直接判断一个数能否被3整除?

我们先具体观察一些能被3整除的整数: 18,345,4737,25674

18能被3整除,1+8=9也能被3整除; 345能被3整除,3+4+5=9也能被3整除; 4737能被3整除,4+7+3+7=21也能被3整除; 25674能被3整除,2+5+6+7+4=24也能被3整除。 怎么这么巧?我们再试一个:7896852能被3整除,7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了,不用再试了,同学们可能已经在想:“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除?”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

由99和9都能被3整除,推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除,推知(7+4+1)能被3整除;反之,由(7+4+1)能被3整除,推知741能被3整除。 因此,判断一个整数能否被3整除的简便方法是: 如果整数的各位数字之和能被3整除,那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除,那么此整数不能被3整除。

例1判断下列各数是否能被3整除: 2574,38974,587931。

解:因为2+5+7+4=18,18能被3整除,所以2574能被3整除;

因为3+8+9+7+4=31,31不能被3整除,所以38974不能被3整除;

因为5+8+7+9+3+1=33,33能被3整除,所以587931能被3整除。

为了今后使用方便,我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时,为防止理解错误,就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如,

表示这个三位数的百、十、

个位依次是3,a,5;又如,表示这个四位数的

千、百、十、个位依次是a,b,c,d。

例2六位数

能被3整除,数字a=?

解:2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除,数字a只能是2,5或8。即符合题意的a是2,5或8。 例3由1,3,5,7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中,有几个能被3整除?

解:在1,3,5,7这四个数中,任取三个,共有4组: 1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7。其中,1+3+5和3+5+7能被3整除,所以,由1,3,5或3,5,7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。由1,3,5可写成135,153,315,351,513,531六个三位数;同理,由3,5,7也能写成6个三位数。

所以,符合题意的三位数有6×2=12(个)。例4被2,3,5除余1且不等于1的最小整数是几?

解:除1以外,被2除余1的所有整数是 3,5,7,9,11,?,27,29,31,33,? 被3除余1的所有整数是

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,? 被5除余1的所有整数是 6,11,16,21,26,31,36,?

上面三列数中,第一个同时出现的数是31,所以31是同时满足被2,3,5除均余1且不等于1的最小数。 例4中使用的方法是解这类题型的基本方法,但不够简捷。一个较简捷的方法是:

因为5大于2和3,所以先从被5除余1的数 1,6,11,16,21,26,31,36,?

中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31,就为所求。

到五年级学了更多的知识后,还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。

例5同时能被2,3,5整除的最小三位数是几? 解:能被5整除的三位数是

100,105,110,115,120,125,?其中,第一个能同时被2,3整除的数是120(它是偶数,且1+2+0=3),故120为所求。 练习19

1.直接判断25874和978651能否被3整除。 3.由2,3,4,5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中,有几个能被3整除?

4.(1)被2,3除余1且不等于1的最小整数是几? (2)被3,5除余2且不等于2的最小整数是几? 5.同时能被2,3,5整除的最小自然数是几? 6.同时能被2,3,5整除的最大三位数是几? 7.一根铁丝长125厘米,要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。最多能剪成多少段? 答案与提示 练习19 1.不能;能。 2.a=0,3,6,9。 3.12个。 4.(1)7;(2)17。 5.30。 6.990。 7.60段。

提示:要使剪成尽量多的小段,2厘米长的应尽量多。因为三种规格都要有,125为奇数,剪去若干个2厘米长的小段后,剩下的长度仍是奇数,所以3厘米、5厘米长的至少要3段,125=114+3+3+5=2×57+3×2+5×1,所以2厘米的剪57段,3厘米的剪2段,5厘米的剪1段,此时剪成的小段最多,为 57+2+1=60(段)。

第20讲 乘、除法的运算律和性质

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我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质,利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质,其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。 1.乘法的运算律

乘法交换律:两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变。即 a×b=b×a。

其中,a,b为任意数。 例如,35×120=120×35=4200。

乘法结合律:三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变。即

a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。 注意:

(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中,可以任意交换其中各数的位置,积不变;多个数连乘中,可以任意先把几个数结合起来相乘后,再与其它数相乘,积不变。

(2)这两个运算律常一起并用。例如,并用的结果有 a×b×c=b×(a×c)等。 例1计算下列各题:

(1)17×4×25; (2)125×19×8; (3)125×72; (4)25×125×16。

分析:由于25×4=100,125×8=1000,125×4=500,运用乘法交换律和结合律,在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后,再与其它数相乘,以简化计算。 解:

(2)125×19×8 =(125×8)×19 =1000×19 =19000; (3)125×72 =125×(8×9) =(125×8)×9 =1000×9 =9000; (4)25×125×16或 =25×125×2×8 =(25×2)×(125×8) =50×1000 =50000, 25×125×16 =25×125×4×4 =(25×4)×(125×4) =100×500 =50000。

乘法分配律:两个数之和(或差)与一数相乘,可用此数先分别乘和(或差)中的各数,然后再把这两个积相加(或减)。即

(a+b)×c=a×c+b×c, (a-b)×c=a×c-b×c。 例2计算下列各题:

(1)125×(40+8); (2)(100-4)×25; (3)2004×25; (4)125×792。 解:

(1)125×(40+8) =125×40+125×8 =5000+1000 =6000; (2)(100-4)×25 =100×25-4×25 =2500-100 =2400; (3)2004×25 =(2000+4)×25 =2000×25+4×25 =50000+100 =50100; (4)125×792 =125×(800-8) =125×800-125×8 =(125×8)×100-1000 =1000×100-1000 =1000×(100-1) =99000。

2.除法的运算律和性质

商不变性质:被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变。即

a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0) =(a÷m)÷(b÷m)(m≠0) 例3计算:

(1)425÷25;(2)3640÷70。 解: (1)425÷25

=(425×4)÷(25×4) =1700÷100 =17; (2)3640÷70

=(3640÷10)÷(70÷10) =364÷7 =52。

(2)两数之和(或差)除以一个数,可以用这两个数分别除以那个数,然后再求两个商的和(或差)。即 (a±b)÷c=a÷c±b÷c。

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