将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量
mL2mL2dE?2dE 在E～E?dE之间的状态数为dZ?2?2??2??（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为
在绝对零度下，由下式
由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为 （3）电子的平均能量为
?10a?3.5?10m。试计算绝对零度时电子气的费米8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为
0EF能量（以eV表示）
解：由题意可求得金属锂的电子浓度为 n?22283
/m ??4.66?103?103a(3.5?10)故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为 ?7.57?10?19J?4.72eV
3c?(2.08T?2.57T) mJ/(mol?K) v9.在低温下金属钾的比摩尔热容的实验结果可写成
若1mol的钾有N?6?10个电子，试求钾的费米温度TF和德拜温度?D。
23 解：根据金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为：
2N0?2kB12?4N0kB 上式中，??，b?，所以有： 032EF5?D 故：
2N0?2kB6?1023?3.142?(1.38?10?23)2??2.708?10?19J E??3?32?2.08?104.16?100F 又由 kBTF?EF 得
002.708?10?194T??1.962?10K ?231.38?100F423?2312?3.14?6?10?1.38?10 而 ?D?3?90.9K
5?2.57?10?310.试比较1mol金属钠在30K和0.3K时的德拜比热容，并与电子比热容比较。已知钠的德
0??150E?3.23eV。 DF拜温度K，钠的费米能级
解：在30K时，1mol金属钠的德拜比热容为 ?1.57J/K
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而其电子比热容为
?0.0328 J/K 所以德拜比热容与电子比热容之比为 在0.3K时1mol金属钠的德拜比热容为 ?1.57?10J/K 而其电子比热容为
?3.28?10J/K
所以德拜比热容与电子比热容之比为
11.有一钨丝，长0.05m，横截面积的直径为1×10-4m。试求2000K时钨丝的热电子发射电流。已知钨的电子逸出功为4.5eV。
解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为
?75?10?2000e故热电子发射电流为
42?4.5?1.6?10?19/(1.38?10?23?2000)?4?6?14.05A/m2
?1?10?4 I?jS?14.05?3.14???2???7??1.103?10A ??212.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV和1.8eV。求： （1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度； （2）若温度上升至800K时，其热电子发射电流密度为多少？
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。
解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为
?8.36?10?71 A/m2
在室温下铯的热电子发射电流密度为 ?5.47?10?20 A/m2
（2）在800K时银的热电子发射电流密度为
?4.72?10?19 A/m2
在室温下铯的热电子发射电流密度为 ?4.80 A/m2
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为
VD?1(WAg?WCs)?3V em(dvv?)??e?dt?，证明在频率?下的电导率为：
13.利用电子漂移速度v的方程
?(?)??(0)[1?i??]21?(??) 其中?(0)?ne2?/m0。
?i?t解：设电场为???0e，则有
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或
e?dvv???0e?i?t dt?m齐次方程
dvv??0的通解为 dt??i?t设非齐次方程的特解为v?Ae，则有
从上式可求出特解的待定系数A为 故非齐次方程的通解为
上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为?e的
ne2??0e?i?t电子，则其电流密度j(?)?n(?e)v???(?)?
m(1?i??)?1?i???ne2?1故 ?(?)? ??(0)?2?m(1?i??)?1?(??)?ne2?其中 ?(0)?m35
第五章 固体的能带理论
1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？
解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。
2.周期场对能带形成是必要条件吗？
解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
3.一个能带有N个准连续能级的物理原因是什么？
解：这是由于晶体中含有的总原胞数N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。 4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？
解：对于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里渊区界面附近的波矢k，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E(k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。
可以用下面的图5.1来描述禁带形成的原因： E(k)Δ<0Δ>0DBACOk 5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？ 图 图5.1 在布里渊区界面附近禁带形成的物理示意解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组
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