为求格波解，令
qai[(2n)??t]?2?x2n?Ae?qai[(2n?1)??t]2?x?2n?1?Be ……………（3）
将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为
?1?11?12(??)A?(10eiqa/2?e?iqa/2)B?0?mm??11?1??1(eiqa/2?10e?iqa/2)A?(??2)B?0m ?m ……………（4）
?1令m2??0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得
2224iqa/2?iqa/2iqa/2?iqa/2(11???)??(10e?e)(e?10e)?0 ……00 （5）
22???(11?20cosqa?101) 0由（5）式可解出
??当q?0时，cosqa?1，?q?当
22?0，???0
?a时，cosqa??1，???20?0，???2?0
其色散关系曲线如下图3.4所示：
图3.4 原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线
12.如有一维布喇菲格子，第2n个原子与第2n?1个原子之间的力常数为?；而第2n个原子与第2n?1个原子的力常数为?'。 （1） 写出这个格子振动的动力学方程； （2） 说明这种情况也有声学波和光学波； （3） 求q?0时，声学波和光学波的频率；
q??（4） 求
?2a（a为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。
解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第2n和第2n?1个原子的动力学方程为
21
?d2x2nm??(x2n?1?x2n)??'(x2n?x2n?1)??dt2?2d?mx2n?1??'(x2n?2?x2n?1)??(x2n?1?x2n)2?dt? ……………（1）
（2）为求出方程组（1）的格波解，可令
?x2n?Aei[(2n)qa??t]?i[(2n?1)qa??t]x?Be2n?1? ……………（2）
于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为
?iqa?'?iqa????'2(??)A?(e?e)B?0?mmm??'????'??(eiqa?e?iqa)A?(??2)B?0mm ?m ……………（3）
???'令得
2224422(???)?(????2??2cos2qa)?0 ……………0121 （4）
m2??0?，m??12?'，m2??2从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可
由（4）式可解出
42?2??02??14??2?2?12?2cos2qa ……………（5）
由此可知，?的取值也有??和??之分，即存在声学波和光学波 （3）由（5）式可知
当q?0时，cos2qa?1，有 声学波频率
2????02?(?12??2)，光学波频率
2????02?(?12??2)
（4）同样由（5）式可知
q??当
?2a时，cos2qa??1，有
22????0??12??2声学波频率，光学波频率
22????0??12??2
13.在一维双原子链中，如M/m??1，
（1）求证：
?1?2?sinqa?2?M； 2?m(1?cos2qa)2mM。
1q（2）画出?与的关系图（设M/m?10）。
22
解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n?1个原子的运动方程为
?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?2?Mdx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)2?dt? …………………（1）
?x2n?Aei[(2n)qa??t]?i[(2n?1)qa??t]x?Be2n?1?为解方程组（1）可令 ………………（2） 2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M将（2）式代入（1）式可得出?M………（3）
从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得
?2?(可解出得
?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa ……………（4）
当（4）式中取“－”号时，有
?12?
?(M?m)?mM1?4Mm22sinqa)??1?(1?2(M?m)?? ……………（5）
∵M/m??1，∴（5）式中有
?(M?m)Mm4Mm4Mm24m22sinqa?sinqa?sinqa??1??22M(M?m)MMmm，
?M?那么（5）式可简化为
∴
?1?2?sinqaM
12当（4）式中取“＋”号时，有
2?2??(M?m)Mm??(M?m)?Mm
?4Mm21?cosqa??2(M?m)?? ……………
（6）∵M/m??1，∴（6）式中有
?(M?m)Mm??MMm??m，
?(M?m)Mm??MMm??m
那么（6）式可简化为
23
∴
?2?2?m(1?cos2qa)2mM
2111?121?22?22????sinqa2210m100m5m （2）当M/m?10时，则（4）式可化为
此时，?与q的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：
图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线
?24m?5?1.67?10g，M/m?4，??1.5N/m。求： 14.在一维复式格子中，如果
(1) 光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值；
(2) 相应的声子能量是多少eV?
(3) 这3种声子在300K时各有多少个？
(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？
解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：
mMm5?1.67?10?24?????6.68?10?24gm?Mm/M?11/4?1上式中为约化质量
所以有：
而声学波频率的最大值的计算公式为： 所以有：
(2)相应的声子能量为：
(3)由于声子属于玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计，则有
(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：
q??15.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界
?2a处，声学支格波中所有
轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图像。
解：设第2n个原子为轻原子，其质量为m，第2n?1个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为
?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?2d?Mx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)2?dt? …………………（1）
为解方程组（1）可令
?x2n?Aei[(2n)qa??t]?i[(2n?1)qa??t]x?Be2n?1? …………………（2）
将（2）式代入（1）式可得出
24