设X为2个原子间的最短距离，则有x1i?ajX，那么（2）式可化为 U(X)?Nu02?6???12（3） A()?B()? ………………?X??X其中（3）式中A?111?2?(1????)?2.00048， ?12121223jaj111?2?2?(1????)?4.07809。 666aj23B?2?j那么每个原子的平均晶格能为
（3）根据压缩系数的定义可知 k??1dV111????? ……（4） 2ddUdPVdPdU??()V??V(2)Nx2dXNdXdV?dV?0将（3）式代入（4）式得：
11.若NaCl晶体的马德隆常数Μ=1.75，晶格常数a=5.64A，幂指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：离子间距增加多少？负压强的理论值是多大？
解：（1）设该NaCl晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为
N?Mq2B??? ……………… U(r)?（1） ??n??2?4??0rr?上式中的r指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。
又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为r0，则有r0?由平衡条件可知
1a。 2dU(r)drr?r0N?2?Mq2nB???0 ……………（2） ?2n?1?4??rr0??r?r0Mq2n?1由（2）式可得：B?r0。
4??0n当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有
d2U(r)
dr2r?r1N?2?2Mq2n(n?1)B???0 ……（3） ???3n?24??rr0??r?r1Mq2n?1将B?r0代入（3）式可得
4??0n因而离子间距增加了?r?r1?r0?3.45?2.82?0.63A
013
（2）由（1）问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为
1?1.75?(1.9?10?19)21.75?(1.9?10?19)2?(2.82?10?10)9?1???????12?102?12?109?1??2?4?3.14?8.854?10?(3.45?10)4?3.14?8.854?10?(3.45?10)???1.91?10?9Pa
N?e2?U(r)??(?n)24??0rr。
12.已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为：
?r??n若排斥项r由ce来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡献相同。试
求出n和
?的关系。
dU(r)N?e2n?解：由平衡条件可知 ??(??)?0………（1）
drr024??0r02r0n?1由（1）式可求得r0???4??0n???2??e?1n?1…………………（2）
又由题意有
?rn0?ce?r0? …………………（3）
将（2）式代入（3）式可得：
13.假定在某个离子晶体中，某离子间的空间能够被一种介电常数为?的均匀流体渗满而不至于影响离子间的排斥作用，但库仑相互作用减少为原来的1/?。计算这种情况下NaCl的点阵常数和结合能。
解：由题意可知，当NaCl晶体被介电常数为?的均匀流体渗满时，其相互作用势能为：
NMq2B U(r)??(（1） ?n) …………………
24??0?rrdU(r)NMq2nB由平衡条件可知有 ??(??)?0………（2） 2n?1drr024??0?r0r0由（2）式可求得NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两个离子间的距离为
1n?11n?1?4??0?nB?r0???Mq2????那么NaCl的点阵常数为：a?2r0?2???4??0?nB??2??Mq?
N结合能为Eb??U(r0)?2n1n?122????Mq2n?1Mqn?1n?1n?1?()?(nB)?()?(nB)??
4??0??4??0??14
An?q2NR14.考察一条直线，其上载有交错的个离子，最近邻之间的排斥能为。
（1）试证明在平衡时， （2）令晶体被压缩，使
R0?R0(1??)。试证明在晶体被压缩过程中，外力做功的主项对
1C?2(n?1)q2ln22每离子平均为。其中， C? 4??0R0解：（1）线型离子晶体的结合能为
?q211U(R)??N?(?)??4??RajRnj?0?其中（1）式中的M?A?Mq2A'??N(?)……………（1） ??nn4??0RRjaj???(?j1)，即为线型离子晶体的马德隆常数，等于2ln2；ajA'??jA naj当晶体处于平衡时，有平衡条件：
dU(R)
dR由（2）式可得
R0Mq2nA' ??N(??)?0 …………（2）2n?14??0R0R0Mq2n?1 A'?（3） R0 ………………………
4??0n将（3）式代入（1），并将M?2ln2也代入（1）可得：
（2）使R0?R0(1??)，当?很小时，在R?R0附近把U(R)展开为泰勒级数为
dU(R) U[R0(1??)]?U(R0)?dR上式中根据平衡条件有
1d2U(R)R0??2dR2R?R0(R0?)2?? （4）
R?R0dU(R)dR?0，另有
R?R0离子晶体被压缩?l?2NR0?，外力所作的功的主项（略去二级以上微量）得
12Nq2ln212Nq2ln222??(n?1)??C'? 上式中，C'?(n?1) 24??0R024??0R0压缩量?l?2NR0?是属于2N个离子所共有的，即2N个长度为R0的线段的总压缩量为?l。因此，外力对一个离子所做的功W平均为
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F??l1C'21C'q2ln22W????C? 上式中，C??(n?1)。
2N22N22N4??0R016