第二章 晶体的结合
1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。
解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。 2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？
解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的N个原子在自由时的总能量之差，即Eb?EN?E0。（其中Eb为结合能，EN为组成这晶体的N个原子在自由时的总能量，E0为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。 3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？
解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，f(r)?0，而相互作用势能u(r)逐渐减小；当2个原子慢慢接近到平衡距离r0时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，f(r)?0，而相互作用势能u(r)达到最小值；当2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，f(r)?0，而相互作用势能u(r)也开始急剧增大。 4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？
解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 5.有一晶体，在平衡时的体积为能由下式给出：
7V0，原子之间总的相互作用能为U0，如果原子间相互作用
u(r)???rm??rn，
试证明弹性模量可由U0?mn/(9V0)?给出。
解：根据弹性模量的定义可知
?d2U?dP?K???VV???2??dV?V0?dV??? …………………（1） ?V09
上式中利用了P??dU的关系式。 dVU?设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成
NN??u(r)?(?m?n) ……………（2） 22rr又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即
V?Nv?N?r3 ………………（3）
上式中?为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，??又因为
。 2/2）
(dU1dUN?m?n??1 ………………（4）)?()?????RdV2?rm?1rn?1?3N?r23?Nr2dr0d2Udrd?1?Nm?n???(2)V0???(? m?1n?1??dVdr?3N?r2?2dVrr???r?r01N?m2?n2?3m?3n??????m?n?m?n?……………（5） 29V02?r0r0r0r0?考虑平衡条件(dUm?n?)r0?0，得m?n，那么（5）式可化为 dVr0r0 ?1N?n?m??mnN????mn（6） ??m?n??????(?U0) ……??m2nm?2n?29V02?r0r0?9V02?r0r0?9V0将（6）式代入（1）式得：
6.上题表示的相互作用能公式中，若m?2，n?10，且两原子构成稳定分子时间距为
3?10?10m，离解能为4eV，试计算?和?之值。
解：在平衡位置时有
u(r)???r20??r100 ??EK …………（1）
du(r)2?10??3?11?0 …………（2） drr0r0将离解能Ek?4eV和r0?3?10?10m?3A0代入（1）和（2）式可得：
??4.5?10?19eV·m2，??5.9?10?96eV·m10。
AB??109r?2.8?10m，结合能为rr07. 设某晶体每对原子的势能具的形式，平衡时
10
U?8?10?19J，试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。
解：由题意有以下方程成立：
把r0，U的具体数值代入上述方程组，即得： 由此可得：A?1.0578?10该晶体的有效弹性模量为：
?105J?m9，B?2.52?10?28J?m
d2uK?V0(2)V0又∵ V?Nv?N?r3
dV（上式中N表示晶体中所含的原子个数，?表示与晶体结构有关的因子）
190A2B11d2u故 K?(11?3)＝?3.2797?1011 (2)r0＝
9?Nr0r0r09?N9?Nr0dr8.KCl晶体的体弹性模量为1.74×1010Pa，若要使晶体中相邻离子间距缩小0.5%，问需要施
加多大的力。
解：设KCl晶体内包含N个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内能可以写成
?AB?U?N???n? ………………（1）
?rr?此外，由于KCl每个原胞体积为2r，则晶体的总体积为
V?2Nr ………………（2）
其中（1）和（2）式中的r都指KCl晶体中相邻K和Cl之间的距离。
根据体弹性模量的定义有：
＋
－
33?d2U?dP?K???V????VdV2dV??V0???? …………………（3） ?V0设平衡时晶体内相邻离子间的距离为r0，则平衡体积V0?2Nr03，那么平衡时的体弹性
?d2U模量为K???VdV2?得
?dU?()V0?0，可。又根据KCl晶体内能表达式（1）式及平衡条件?dV?V0B1n?1AnB?r0。 ??0或2n?1Anr0r0将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得
上式中的前一项由于平衡条件而等于0，后一项求微商后利用平衡条件化简得
18Kr04 由此知A?
n?111
当使晶体中相邻离子间距缩小0.5%时，即使相邻离子间距变为
r1?r0(1?0.5%)?0.95r0，此时需施加的外力为
查书中表2.2及表2.5可知，n?9.0，r0?3.14?10?10m，代入上式可得 F?2.17?10N
3V?Nv?N?rN9.由个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成。式中v为每个原子（离
?9子）平均所占据的体积；r为粒子间的最短距离；?为与结构有关的常数。试求下列各种结构的?值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵； NaCl点阵；
解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积v?a?r，故??1； （2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积v?a3?(2r)3?331414232； r，故??22（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积v?a3?(1243123433； r)?r，故??9239（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积v?a3?(（5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积v?1814383383； r)?r，故??9839131a?(2r)3?r3；故??1。 8810.对于由N个惰性气体原子组成的一维单原子链，设平均每2个原子势为：
????u(x)?u0?()12?2()6?。
x??x求：（1）原子间的平均距离x0； （2）每个原子的平均晶格能； （3）压缩系数k。
解：（1）在平衡时，有下式成立
du(x)
dx 由上式可得x0??
x?x0??12?122?6?6??u0??（1） ??0 ……………137x0??x0（2）设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为U(x)，那么有
U(x)?N2??12?6?u()?2()? ………………（2） ?0?x1j?j?x1j??12