为b1?2?i?3.14?1010i，b2?1.57?1010j，由此可做出此矩形晶格的倒格子图如下图a1.57×1010m-1 5.3所示： 图5.3 矩形晶格的倒格子 （2）该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如下图5.4所示： 图5.4 矩形晶格的第一和第二布里渊区 （3）设该二维矩形晶格晶体含有N个电子，由于费米面是k空间占有电子与不占有电子区域的分界面，所以有下式成立 由此得 kF?上式中n?2?(N1/2)?2?n1/2 SN为该二维晶格晶体的电子密度。 S于是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为
由此可做出自由电子的费米面如下图5.5中圆面所示：
图5.5 二维矩形晶格的费米面圆
18.证明：应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，其s态电子的能带为
E(k)?Emin?4Jsin2(ka/2)。
式中：Emin为能带底部的能量；J为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质量。
解：设s态的原子能级为?s，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为
上式中J0????i(ξ)[U(ξ)?V(ξ)]dξ?0，
?2* J(Rs)???i(ξ?Rs)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0（其中U(ξ)表示晶体中的周
期性势场，也即各格点原子势场之和。V(ξ)为某格点的原子势场）
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由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。
在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为ai和?ai，由此可知一维单原子链的s态电子能量可化为：
*上式中J?J(ai)?J(?ai)???i(ξ?ai)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0
?由此可知，当k?0时，即能带底的能量为Emin??s?J0?2J；当k??顶的能量为Emax??s?J0?2J
于是可证得一维单原子链的s态电子能量为 并且还可得能带宽度为?E?Emax?Emin?4J
?a，即能带
d2E?2?2由此还可求得有效质量m(k)??/ 2dk2aJcoska*2?2于是可求得能带顶部的电子有效质量m?m(?)??
a2a2J**??2能带底部的电子有效质量m?m(0)?。 22aJ**19.设二维正三角形晶格中原子间距为a，试根据紧束缚近似的结果，求出能带E(k)的表达式，并求出相应的电子速度v(k)和有效质量的各个分量
m??。
解：当只计及最近邻格点的相互作用时，根据紧束缚近似可得该晶格由原子s态的形成的能带表达式为
上式中J0??E(k)??s?J0?Rs?近邻?J(Rs )e?k?Rs …………………（1）
??(ξ)i2[U(ξ)?V(ξ)]dξ?0，
* J(Rs)???i(ξ?Rs)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0（其中U(ξ)表示晶体中的周
?期性势场，也即各格点原子势场之和。V(ξ)为某格点的原子势场）
在此二维晶格中，取原点为参考点，则其六个近邻格点坐标值为 （a，0） （?a，0） （
13a，a）， 22（?111333a，a） （a，?a） （ ?a，?a） 222222把近邻格式Rs代入（1）式，并考虑到s态波函数的球对称性可得：
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??s?J0?2J1[cosakx?cos(akx?12313 aky)?cos(akx?aky)] ……（2）
222上式中J1表示原点所处格点与任一最近邻格点的波函数的重叠积分的负值，并有
J1?0。
由此可知相应的电子速度为
*选取kx，ky轴沿张量主轴方向，则有m*?mxyyx?0，而
20.用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为 并求能带底部电子的有效质量。
解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带E(k)的表达式可写为
上式中E0??s，A????(ξ)i2[U(ξ)?V(ξ)]dξ?0，
* J??i(ξ?Rs)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0（其中U(ξ)表示晶体中的周期性势
?场，也即各格点原子势场之和；V(ξ)为最近邻格点的原子势场；Rs为最近邻格点的位矢）。
对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为
aaaaaaaa，，0），（，?，0），（?，，0），（?，?，0） 22222222aaaaaaaa（，0，），（，0，?），（?，0，），（?，0，?） 22222222aaaaaaaa（0，，），（0，，?），（0，?，），（0，?，?）
22222222（
将上述的12套坐标值代入上述的E(k)的表达式，可得
由于J?0，所以当kx?ky?kz?0时，E(k)有最小值Emin?E0?A?12J，即为能带底部。
选取kx，ky，kz轴沿张量主轴方向，则有mxy?myx?mxz?mzx?myz?mzy?0，而在能带底部有
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