所以线段AD：y??3x?6(?4剟x4). 4215?15?在线段AD上取点M（3，），因为OM?32????32?42?5，
4?4?所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
?AB，由（1）知，P1B=15，此时P1（?13，9）； 设P1为l上一点，且PB1?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ?(a?4)2?(9?3)2?15(a?4)，得a=4?321，所以Q（4?321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（?13，9），Q（4?321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ?4?321?(?13)?17?321.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17?321（百米）.
实 用 文 档
13
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理
能力．满分16分．
解：（1）因为a?b?c，所以f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)3．
因为f(4)?8，所以(4?a)3?8，解得a?2． （2）因为b?c，
所以f(x)?(x?a)(x?b)2?x3?(a?2b)x2?b(2a?b)x?ab2，
从而f'(x)?3(x?b)??x2a?b???3??．令f'(x)?0，得x?b或x?2a?b3． 因为a,b,2a?b3，都在集合{?3,1,3}中，且a?b， 所以
2a?b3?1,a?3,b??3． 此时f(x)?(x?3)(x?3)2，f'(x)?3(x?3)(x?1)． 令f'(x)?0，得x??3或x?1．列表如下：
x (??,?3) ?3 (?3,1) 1 (1,??) f'(x) + 0 – 0 + f(x) Z 极大值 ] 极小值 Z 所以f(x)的极小值为f(1)?(1?3)(1?3)2??32．
（3）因为a?0,c?1，所以f(x)?x(x?b)(x?1)?x3?(b?1)x2?bx，
f'(x)?3x2?2(b?1)x?b．
实 用 文 档 14
因为0?b?1，所以??4(b?1)2?12b?(2b?1)2?3?0， 则f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2?x1?x2?．
由f'(x)?0，得xb?1?b2?b?11?3,xb?1?b2?b?12?3．
列表如下：
x (??,x1) x1 ?x1,x2? x2 (x2,??) f'(x) + 0 – 0 + f(x) Z 极大值 ] 极小值 Z 所以f(x)的极大值M?f?x1?． 解法一：
M?f?x1??x31?(b?1)x21?bx1
?[3x2?xb?1?2?b2?b?1?b(b?1)1?2(b?1)x1?b]?1?3?9???9x1?9 ??2?b2?b?1?(b?1)?b(b?1)2279?27?b2?b?1?3
?b(b?1)27?2(b?1)2(b?1)27?227(b(b?1)?1)3
?b(b?1)24427?27?27．因此M?27． 解法二：
实 用 文 档 15
因为0?b?1，所以x1?(0,1)．
2当x?(0,1)时，f(x)?x(x?b)(x?1)?x(x?1)．
令g(x)?x(x?1),x?(0,1)，则g'(x)?3?x??(x?1)．
2??1?3?令g'(x)?0，得x?1．列表如下： 31(0,) 3+ x 1 30 1(,1) 3– g'(x) g(x) Z 极大值 ] 所以当x?1?1?4时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max?g???． 3?3?2744，因此M?． 2727所以当x?(0,1)时，f(x)?g(x)?20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综
合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
?a12q4?a1q4?a2a4?a5?a1?1由?，得?2，解得?．
a?4a?4a?0q?2aq?4aq?4a?021??3?111因此数列{an}为“M—数列”.
（2）①因为
122??，所以bn?0． Snbnbn?1实 用 文 档 16