2010年中考数学真题分类压轴汇编之开放探究型问题 - 图文

故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意.…………10分 25.(2010 甘肃)(12分) 如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y

轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存

在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c,

由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax?bx?3. ………………………1分

22把A(-1,0)、B(3,0)代入, 得?解得a?1,b??2.

?a?b?3?0,

9a?3b?3?0.?∴ 抛物线的解析式为y = x-2x-3. ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明:只要学生求对a?1,b??2,不写“抛物线的解析式为y = x2-2x-3”不扣分. (2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分

理由如下:

过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.

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在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴ BC?18. …………………………6分 在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴ CD?2. …………………………7分 在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴ BD?20. …………………………8分 ∴ BC?CD?BD, 故△BCD为直角三角形. …………………………9分 (3)连接AC,可知Rt△COA∽ Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0). ………10分

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过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD,

求得符合条件的点为P1(0,). …………………………………………11分 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD, 求得符合条件的点为P2(9,0). …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个:O(0,0),P1(0,),P2(9,0).

26.(2010福建南平)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°). (1)求证:∠EAP=∠EPA;

(2)□APCD是否为矩形?请说明理由; (3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.

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D C D C E A E F P 图1

B

M A N P 图2 B

【答案】(1)证明:在ΔABC和ΔAEP中 ∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP ∴ ∠ACB=∠APE 在ΔABC中,AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴ ∠EPA=∠EAP

(2)答:□ APCD是矩形

∵四边形APCD是平行四边形 ∴ AC=2EA, PD=2EP

∵ 由(1)知 ∠EPA=∠EAP ∴ EA=EP 则 AC=PD

∴□APCD是矩形 (3)答: EM=EN

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∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°- 2α

11∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α

22由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,∴ FP=FB

∴∠FPB=∠ABC=α

11

∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α

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∴ ∠EAM=∠EPN

∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN ∴ ∠AEP=∠MEN

∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP

∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN 27.(2010 甘肃)(12分) 如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y

轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存

在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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【答案】解:(1)设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c,

由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax?bx?3. ………………………1分

22把A(-1,0)、B(3,0)代入, 得?解得a?1,b??2.

?a?b?3?0,

?9a?3b?3?0.∴ 抛物线的解析式为y = x-2x-3. ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明:只要学生求对a?1,b??2,不写“抛物线的解析式为y = x2-2x-3”不扣分. (2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下:

过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.

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在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴ BC?18. …………………………6分 在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴ CD?2. …………………………7分 在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴ BD?20. …………………………8分

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