∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中，
222
∵EF＋FC＝EC， ∴（
x232）＋（x＋x）＝22x3x，EF＝. 22?3?1?.
2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.
22．（2010湖北随州）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求
出t值，若不存在请说明理由.
25作垂线，垂足为M，连FM（如图）. 434
【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
113.此时，MP＝，横坐标为1?42第 29 页 共 45 页
（3）不存在.因为当t＜
55，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，442PM与PN不可能相等.
23．（2010 内蒙古包头）已知二次函数y?ax?bx?c（a?0）的图象经过点A(1，0)，
B(2，0)，C(0，?2)，直线x?m（m?2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x?m（m?2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
y
x O
?a?b?c?0，?【答案】解：（1）根据题意，得?4a?2b?c?0，
?c??2.?解得a??1，b?3，c??2．
y A O (F2)F1 C (x=m) E1 (E2) B D x ?y??x?3x?2． ·························· （2分）
（2）当△EDB∽△AOC时，
2AOCOAOCO得或， ??EDBDBDED∵AO?1，CO?2，BD?m?2， AOCO12当时，得， ??EDBDEDm?2m?2∴ED?，
2∵点E在第四象限，∴E1?m，当
??2?m?························································ （4分） ?．
2?AOCO12??时，得，∴ED?2m?4， BDEDm?2ED4?2m)． ∵点E在第四象限，∴E2(m，························································ （6分）
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
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EF?AB?1，点F的横坐标为m?1，
当点E1的坐标为?m，??2?m?2?m??Fm?1，时，点的坐标为1???，
2?2??∵点F1在抛物线的图象上， ∴
∴2m?11m?14?0， ∴(2m?7)(m?2)?0， ∴m?22?m??(m?1)2?3(m?1)?2， 全品中考网 27， ，m?2（舍去）
23??， 4??∴F1?，∴S?5?2ABEF?1?33············································································ （9分） ?． ·
44当点E2的坐标为(m，4?2m)时，点F2的坐标为(m?1，4?2m)， ∵点F2在抛物线的图象上，
∴4?2m??(m?1)?3(m?1)?2， ∴m?7m?10?0，
∴(m?2)(m?5)?0，∴m?2（舍去），m?5，
22?6)， ∴F2(4，∴SABEF?1?6?6．
（12分）
24．（2010 湖南湘潭）如图，直线y??x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y?ax?bx?c过A、C、O三点．
(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线； (3) 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果
存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2yx26题图
【答案】解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分
o
连结OC,由于∠AOB=90，C为AB的中点，则OC?1AB，
2
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3． 又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3） ……………………2分 抛物线过点O，所以c=0, 又抛物线过点A、C，所以
?3?9a?3b10?36a?6b，解得：a??,b?2
3所以抛物线解析式为y??12x?2x …………………3分 3o
（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ……………………4分 所以OD=OB=OA，∠DBA=90． ……………………5分 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ……………………6分 （通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则 ∠CAP=90或 ∠COP=90, ……………………7分 若∠CAP=90,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b． 又AP过点A（6，0），则b=-6, ……………………8分 方程y=x-6与
x2??3x1?612y??x?2x联立解得：y1?0，y2??9，
3o
o
o
o
?? 故点P1坐标为（-3，-9） ……………………9分 若∠COP=90,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，-9） (用抛物线的对称性求出亦可)
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o