∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中，
222
∵EF＋FC＝EC， ∴（
x232）＋（x＋x）＝22x3x，EF＝. 22?3?1?.
2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.
22．（2010湖北随州）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求
出t值，若不存在请说明理由.
25作垂线，垂足为M，连FM（如图）. 434
【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
113.此时，MP＝，横坐标为1?42第 29 页 共 45 页
（3）不存在.因为当t＜
55，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，442PM与PN不可能相等.
23．（2010 内蒙古包头）已知二次函数y?ax?bx?c（a?0）的图象经过点A(1，0)，
B(2，0)，C(0，?2)，直线x?m（m?2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x?m（m?2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
y
x O
?a?b?c?0，?【答案】解：（1）根据题意，得?4a?2b?c?0，
?c??2.?解得a??1，b?3，c??2．
y A O (F2)F1 C (x=m) E1 (E2) B D x ?y??x?3x?2． ·························· （2分）
（2）当△EDB∽△AOC时，
2AOCOAOCO得或， ??EDBDBDED∵AO?1，CO?2，BD?m?2， AOCO12当时，得， ??EDBDEDm?2m?2∴ED?，
2∵点E在第四象限，∴E1?m，当
??2?m?························································ （4分） ?．
2?AOCO12??时，得，∴ED?2m?4， BDEDm?2ED4?2m)． ∵点E在第四象限，∴E2(m，························································ （6分）
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
第 30 页 共 45 页
EF?AB?1，点F的横坐标为m?1，
当点E1的坐标为?m，??2?m?2?m??Fm?1，时，点的坐标为1???，
2?2??∵点F1在抛物线的图象上， ∴
∴2m?11m?14?0， ∴(2m?7)(m?2)?0， ∴m?22?m??(m?1)2?3(