3-m)，Q(1-m，3+m)，所以
-
129（1-m-1）+=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去） 22此时P(0，2)
30．（2010年福建省泉州））我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你
可以利用这一结论解决问题.
如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y?象限的点B、D，已知点A(?m,0)、C(m,0).
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是 ; （2）①当点B为(p,1)时，四边形ABCD是矩形，试求p、α、和m有值；
②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？(不必
说理)
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.
3的图象分别交于第一、三x
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【答案】解：（1）平行四边形 …………（3分）
（2）①∵点B(p,1)在y?3的图象上，∴x1?3 p∴p?3………………………………（4分）
过B作BE?x轴于E，则OE?在Rt?BOE中，tan??α=30° ∴OB?2
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B、D关于原点O成中心对称 ∴OB=OD=2
3，BE?1
BE13 ??OE33……………………………………………………………（5分）
………………………………………（6分）
∵四边形ABCD为矩形，且A(?m,0) C(m,0)
∴OA?OB?OC?OD?2………………………………………………………（7分） ∴m?2；
……………………………………………………………（8分）
②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个； ………………………………（9分） （3）四边形ABCD不能是菱形.
……………………………………………（10分）
法一：∵点A、C的坐标分别为(?m,0)、(m,0) ∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上.
又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC与BD不可能垂直. ∴四边形ABCD不能是菱形
法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分， 因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. ……………………………………（11分）
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所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………（12分） 31．（2010年福建省泉州）如图所示，已知抛物线y?12x?x?k的图象与y轴相交于点4B(0,1)，点C(m,n)在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A.
（1）求k的值; （2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索： ①当S1?S?S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上.（写出t的值即可）
【答案】解：（1）∵点B（0，1）在y?12x?x?k的图象上，∴41?12?0?0?k………………（2分） 4∴k=1………………（3分） （2）由（1）知抛物线为：
y?121x?x?1即y?(x?2)2 44∴顶点A为（2，0） …………（4分） ∴OA=2，OB=1
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2 由已知得∠BAC=90° …………………（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD ∴Rt△OAB∽Rt△DCA
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ADCDm?2n(?，即?OBOA12OACD2n)…（6分） ?，即?OBAD1m?2∴
∴n=2(m-2)； 又点C（m,n）在y?∴2(m?2)?或tan∠OBA= tan∠CAD
11(x?2)2上，∴n?(m?2)2 441(m?2)2，即8(m?2)(m?10)?0 4∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；…………………（7分） ∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）…（8分） （3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16） 此时S1?1OA?OB?1 2S2?SBODC?S?ACD?21……………………………… （9分）
又点P在函数y??∴S?1，AP= (x?2)2图象的对称轴x=2上，∴P（2,t）t
41……………………………（10分） OA?AP?AP= t
2∵S1?S?S2
∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21. ………………（11分） ∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1
∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 …………（12分）
②t=0，1，17. ……………………………………（14分） 32．（2010湖南娄底）如图11，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN//AB，ME?DC，NF?DC，垂足分别为E、F
(1) 求梯形ABCD的面积
(2) 探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请
说明理由；
探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由.
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【答案】解：做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因为AB//DC,所以四边形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因为AD=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在Rt△ADG中，AG=AD2?DG2=3.所以梯形ABCD的面积是
(AB?CD)?AG=18.
2DC?EF10?x=.因为ME⊥DC，NF⊥DC，所以
2210?xMEDEMEME//AG, ∠MED=∠AGD=90°，所以△DEM∽△DGA，所以=，所以=2，
AGDG343(10?x)所以ME=，所以四边形MEFN的面积是
83(10?x)32303752S=MN·ME=x·=?x?=?(x?5)?.所以当x=5时，四边形MEFN的面
8888875MEDE积的最大值是.（3）四边形MEFN能为正方形，且边长为x，则由（2）知道，=，
8AGDG10?xx303029002所以=2，所以x=.此时四边形的面积是x?()?.
311111214（2） 设MN=x，则EF=MN=x，所以DE=
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