由题知二面角A1?BC?A为锐角，所以其余弦值为
33. ……………….10分
（Ⅲ）假设棱A1B1上存在点N(x,y,z)，使得HN‖平面A1BC.
由A1N??A1B1(0???1)，又A1B1?(1,0,0)，故A1N?(?,0,0).
uuuruuuuruuuuruuur11，1)，H为CC1的中点，所以H(0， 因为C1(0，1，).
2uuuruuuruuur1所以HN?HA1?A1N?(?,-1,).
2uuur11若HN‖平面A1BC，则HN?n??-1+?0，解得???[0,1].
22又因为HN?平面A1BC.
所以在棱A1B1上存在点N，使得HN‖平面A1BC，且
A1NA1B1?12.
……………….14分 19．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A. 由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过
3.5吨， 所以P(A)?25. ……………….4分
（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，
所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. X的所有可能取值为0，1，2.
9
P(X?0)?2C32C5?310?110；
P(X?1)?11C3?C22C52C22C5610.
?35；
P(X?2)??所以X的分布列为:
X P 0 1 2 33105103314E(X)?0??1??2??．
105105 ……………….13分
1
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?6?0相切，
所以半径b等于原点到直线的距离d，b?d? 由离心率e?0?0?61?1，即b?3.
c11，可知?，且a2?b2?c2，得a?2.
a22x2y2故椭圆C的方程为??1. ……………….4分
43（Ⅱ）由椭圆C的方程可知S(2,0).
若直线l的斜率不存在，则直线l方程为x?1，
33所以P(1,), Q(1,?).
22则直线PS的方程为3x?2y?6?0，直线QS的方程为3x?2y?6?0.
3). 令x?4，得A(4,-3)，B(4, 所以A，B两点的纵坐标之积为?9.
10
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)(k?0),
由??y?k(x?1)8k2x?4k2?12?0，
?3x2?4y2?12?0得(3?4k2)x2?依题意??0恒成立.
设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1,x2?0)，
则x8k241?x2?3?4k2,xk2?121x2?3?4k2.
设A(4,yA)B(4,yB)， 由题意P，S，A三点共线可知
yA4?2?y1x， 1?2所以点A的纵坐标为y2y1A?x2. 1?同理得点B的纵坐标为y2y2B?x. 2?2所以y2y1AyB?x?2?2y2x. 12?2
?4k2x1x2?(x1?x2)?1
x1x2?2(x1?x2)?4?4k24k2?12?8k2?4k2?34k2?12?2?8k2?4(4k2?3)?4k2??94k2??9
综上，A，B两点的纵坐标之积为定值.
21．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）当a?1时，因为f(x)?13x3?x2?x
11
……………….13分
所以f?(x)?x?2x?1，f?(0)?1. 又因为f(0)?0，
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x. ……………….4分 （Ⅱ）因为f(x)?213x3?2(a?1)2x2?ax，
所以f?(x)?x?(a?1)x?a?0. 令f?(x)?0，解得x?a或x?1.
若a?1，当f?(x)?0即x?1或x?a时，函数f(x)单调递增； 当f?(x)?0即1?x?a时，函数f(x)单调递减.
22若a?1，则f?(x)?x?2x?1?(x?1)?0，
当且仅当x?1时取等号，函数f(x)是增函数.
若a?1，当f?(x)?0即x?a或x?1时，函数f(x)单调递增.
当f?(x)?0即a?x?1时，函数f(x)单调递减.
综上，a?1时，函数f(x)单调递增区间为(??,1),(a,+?)，单调递减区间为(1,a)；
a?1时，函数f(x)单调递增区间为(??,??)；
1). a?1时，函数f(x)单调递增区间为(??,a),(1,+?)，单调递减区间为(a,……………….9分
（Ⅲ） 令f?(x)?x?(a?1)x?a?0，解得x?a或x?1.
当a?0时，随x变化，f?(x),f(x) 变化情况如下表：
2 12