题组层级快练(四十四)
1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a2＋b2 C．2ab 答案 D
解析 只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2 A．y＝x＋ xC．y＝4ex＋e答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义4 域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4， sinx显然不成立．D中没有最小值．故选C. 3．设0 a＋b 2 a＋b B．a 2a＋b D. ab 2 －x B．2ab D．a＋b B．y＝sinx＋ 4 (0 D．y＝log3x＋logx3(0 a＋b C．a 2答案 B a＋b 解析 方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0 2a＋b 方法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作 2商)比较即可，答案为B. 4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] C．[－2，＋∞) 答案 D 11＋＋＋ 解析 ∵2x＋2y≥22x·2y＝22xy(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2xy≤，∴2xy≤， 24得x＋y≤－2，故选D. 5．若x，y是正数，则(x＋ 121 )＋(y＋)2的最小值是( ) 2y2x B．[－2，0] D．(－∞，－2] A．3 C．4 答案 C x1y1 解析 原式＝x2＋＋2＋y2＋＋2≥4. y4yx4x当且仅当x＝y＝1 时取“＝”号． 2 7B. 29D. 2 1 6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( ) ab1A. 41C. 2答案 C 11 解析 ∵4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号． ab211 7．若x<0，则函数y＝x2＋2－x－的最小值是( ) xx9 A．－ 4C．2 答案 D 11 解析 y＝x2＋2－x－≥2xx 1x2·2＋2 x 1（－x）（－）＝4，当且仅当x＝－1时取等号． x B．0 D．4 B．4 D．2 12 8．(2015·湖南，文)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( ) abA.2 C．22 答案 C 12b＋2a 解析 方法一：由已知得＋＝＝ab，且a>0，b>0，∴abab＝b＋2a≥22ab，∴ ababab≥22. 12 方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab＝＋≥2 ab“＝”号，选C. x2＋2 9．(2017·金山模拟)函数y＝(x>1)的最小值是( ) x－1A．23＋2 B．23－2 B．2 D．4 2，即ab≥22，当且仅当b＝2a时取ab C．23 答案 A 解析 ∵x>1，∴x－1>0. D．2 x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋2（x－1）＋3∴y＝＝＝ x－1x－1x－1（x－1）2＋2（x－1）＋33＝＝x－1＋＋2≥2x－1x－13 当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号． x－1 1a 10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) xyA．2 C．6 答案 B 1axy 解析 (x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2， xyyxxy 当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立． yx1a ∴(x＋y)(＋)的最小值为(a＋1)2≥9. xy∴a≥4. 11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A.3 C.5 答案 A 解析 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R. ∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A. 方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤3. y2 12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( ) xzA．3 C．9 答案 A 1119 13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( ) aba－1b－1A．16 B．9 3（x－1）（）＋2＝23＋2. x－1 B．4 D．8 B．2 D.10 2 B．6 D．12 C．6 答案 C D．1 1119 解析 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥ aba－1b－12 19×＝2×3＝6. a－1b－1 b－1＋9a－911191 方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋ abaa－1b－1ab－a－b＋11 )－10≥16－10＝6. b 111199 方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥29＝2×3＝6. abb－1a－1b－1b－14 14．(1)当x>1时，x＋的最小值为________； x－14 (2)当x≥4时，x＋的最小值为________． x－116 答案 (1)5 (2) 3 解析 (1)∵x>1，∴x－1>0. 44 ∴x＋＝x－1＋＋1≥24＋1＝5. x－1x－1(当且仅当x－1＝ 4 .即x＝3时“＝”号成立) x－1 4 ∴x＋的最小值为5. x－1(2)∵x≥4，∴x－1≥3. 4 ∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数， x416 ∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值. 3x－1 1 15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________． ab答案 17 4 a＋b21 解析 ab≤()＝， 241 当且仅当a＝b＝时取等号． 211 y＝x＋在x∈(0，]上为减函数． x4