?0(t?0),??h(?T?t?0),? f(t)???h(0?t?T),??0(T?t).3、分别在f(0)?0和f'(0)?0的边界条件下，把f(x)?1?H(x?a),x?(0,?)展成三角形式的傅里叶积分。
4、分别在f(0)?0和f'(0)?0的边界条件下，把f(x)?e??x,x?(0,?)(??0)展成三角形式的傅里叶积分。
5、分别在f(0)?0和f'(0)?0的边界条件下，把f(t)??的傅里叶积分。
6、把振幅随时间衰变的振动函数f(t)??h?0(0?t?T),展成三角形式
(T?t??)sin?t,t?0(?为常数)，展成傅里叶积分。 t
习题十五 1、求?(t)和?(t??)的像函数。
2、电量为q1的点电荷位于空间M1点，而电量为q2的点电荷位于空间M2点，求空间中的电荷密度分布。
3、一条两端固定的弦线，在t?0时，有冲量k瞬间作用于弦线上的x0点，求此冲量作用后弦线上各点的位移和初速度。[设弦线上的x点在t时刻偏离平衡位置的横向位移为
u(x,t).]
4、证明以下?函数的性质： （1）?(ax)?1?(x); （2）?'(?x)???'(x); |a|（3）x?(x)?0; （4）f(x)?(x)?f(0)?(x);
'（5）x?(x)???(x); （6）?(x?a)?221[?(x?a)??(x?a)](a?0). 2a
一11一
习题十六
1、如图选取x—x+dx段弦，试推导弦的自由横振动方程。
2、一均匀细弦在阻尼介质中振动，每单位长度的弦所受的阻力为f(x,t)??Rut；（比例常数R称为阻力系数）．试推导弦在该阻尼介质中的横振动方程。 3、试推导匀质细圆锥杆的纵振动方程。
4．一匀质锥形细杆，杆的横截面积S与其到锥顶的距离成正比．试推导杆的纵振动方程．
5、一长为l的柔软均匀重绳，上端固定在以匀角这?转动的竖直轴上．由于转速较小，弦的平衡位置为竖直线．试推导此绳相对于竖直线的横振动方程。
6．一长为l的柔软均匀轻绳，上端固定在以匀角速?转动的竖直轴上．当转速较大时，由于惯性离心力的作用，此弦的平衡位置可认为在水平面上．试推导该弦相对于水平线的横振动方程。
7、一水平放置的均匀弦线，在不能忽略重力作用的情况下，推导弦的横振动方程． 8．一均匀细杆，上端固定在天花板上，杆身竖直．分别取水墙放置时的平衡位置作为纵向位移u的坐标原点和竖直放置时的新的平衡位置作为纵向位移v坐标原点，推导出该杆的纵振动方程．（提示：取竖直放置时的新的平衡位置作为纵向位移v的坐标原点时泛定方程是齐次的．）
9、一匀质细导线，通有恒定的直流电流，其电流密度为j，设导线的电阻率为r，试推导该导线的热传导方程．
一12 一
10．上题中若设电流强度为I，每单位长导线的电阻为R，写出该导线内的热传导方程．
11、混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度Q，即
dQ???Q，试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。设初始时刻水化热密度为Q。 dt 12．试推导均匀圆杆的扭转振动方程．设圆杆横截面半径为R，切变模量为N．
习题十七
1、两端固定长为l的均匀弦，弦中的张力为T0T0，在x?x0点施以横向力F0沿坐标u的正方向拉弦，稳定后放手任其自由振动．写出该弦作横振动的初始条件． 2、长为l的均匀杆，两端受拉力F0的作用，写出杆作纵振动的边界条件。
3、长为l的均匀杆，x?0端固定，x?l端受力F0的作用而伸长．在t＝0时刻，突然撤去此力，写出该杆作纵振动的初始条件．
4、长为l的均匀杆，两端受压力的作用，杆长度变为l(1?2?)后处于静止状态．在t=0时刻，突然撤去压力，写出该杆作纵振动的初始条件．
5、长为l的均匀杆，两端有恒定的热流强度为q0的热流进入，写出杆的热传导问题的边界条件．
6、两端固定长为l的均匀弦，在t=0时刻用尖锤敲击弦上x0点，其冲量为K，写出该弦作横振动的定解条件．
7、写出静电场中两种不同电介质界面上的衔接条件．其介电常数分别为?和? ，电势分别为u和u。
8、一根杆由横截面积相同但材料不同的两段连接而成。其扬氏模量分别为Y和Y，密度分别为?和?．写出杆纵振动的衔接条件．
9．一根粗细均匀的导热杆由两段不同材料构成，其导热系数、比热、密度分别为k、
?????????????C?、??、k??、C??、???。初始温度为u0，两端保持零度．试列出该杆热传导问题的定解
问题．
10．半径为R而表面熏黑的金属长圆柱体，受阳光照射．阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出该圆柱体的热传导问题的边界条件．
习题十八
1．把下列二阶线性偏微分方程化为标准形式：
（1）auxx?2auxy?auyy?bux?cuy?u?0;（2）uxx?2uxy?3uyy?2ux?6uy?0;
一13 一
（3）uxx?4uxy5uyy?ux?2uy?0; （4）uxx?yuyy?0;； （5）uxx?xuyy?0; （6）yuxx?xuyy?0;
22 （7）4y2uxx?e2xuyy?4y2ux?0.
2．化简下列二阶线性常系数偏微分方程： （1）uxx?uyy??ux??uy??u?0; （2）uxx? （3）uyy?1u??u??ux?0; 2yac?bbux?uy?u?0; （4）uxy?3ux?4uy?2u?0;； aa（5）2auxx?2auxy?auyy?2bux?2cuy?u?0.
习题十九
1．求解一无限长弦线的自由振动．设弦的初始位移为?(x)，初始速度为?a?'(x)． 2．求解无限长理想传输线上的电压和电流的传播情况．设传输线上的初始电压分布为 Acoskx．初始电流分布为cAcoskx． L 3．在
GR?的条件下求元限长传输线电报方程的通解． CL 4．一无限长弦线上的x=x。点在t=0时刻受到一尖锤的打击，其冲量为I．求解其后的弦的振动．
5．求解非常长的细圆锥匀质杆的纵振动．设杆上初始位移分布为?(x)，初始速度分布为?(x)。
6．半无界杆的端点（x＝0）受到纵向力F(t)?Asin?t的作用，求解该杆的纵振动． 7．求半无限长理想传输线电报方程的解．端点（x=0）通过电阻R相接，初始电压分布为Acoskx，初始电流分布为所谓“匹配”）？
C试问该传输线在什么情况下端点没有反射（即Acoskx．
L
8．半无界弦的初始位移和初始速度均为零，其端点作微小振动，边界条件为
u|x?0?Asin?t，求解该半无界弦的横振动．