数学物理方法习题
习题一
1．把下列复数分别用代数、三角式和指数式表示出来： （1）?i; (2).
1?i; 1?i1?i (3). 1?3i; (4). e;
(5).1?cos??isin?; (6) z3(z?x?iy)
2、下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？并作图表示出来. (1) |z|?2; (2) |z|?3;
1; (4) |z?a|?|z?b| (a、b皆为复实数）; 2z?1|?1; (5) |z|?Rez?1; (6) |z?11 (7) Re?2; (8) 1?Imz?2;
zz?i??; (10) |z?2|?|z?2|?5. (9) 0?argz?i4 (3)Rez?3、计算下列各式：
（1）3i； （2）i； （3）ii； （4）1?i；
i（1?i)n（5）a?ib（a、b； （6）； 皆为实常数）(1?i)n?2（7）cos??cos2??cos3??????cosn?（?为实数）
习题二
1、
设
z?x?iy,试证：
|sinz|?1(e2y?e?2y)?2(sin2x?cos2x)2和
|cosz|?2、
1(e2y?e?2y)?2(cos2x?sin2x). 2计算下列各式:
（1）sin(a?ib)和cos(a?ib)（其中a、b为实数，用三角函数和双曲函数表出结果）； （2）chz?shz; （3）Ln(?1); 一1 一
22（4）cosix和sinix（x为实数）； （5）chix和shix（x为实数）； （6）|eiaz?ibsinz|（a、b为实常数）。 3、解方程：
（1）sinz?2； （2）tgz?2.
习题三
1、 若一实函数在区域G内解析，试证该实函数必为实数。
2、 试讨论下列函数的可导性和解析性，并在可导区域求其导数： （1）??1?z?2z2; （2）??1 z（3）??zImz?Rez; （4）w?|z|.
3、设函数f(z)?my3?mx2y?i(x2?lxy2)是全平面上的解析函数，试确定m、n、l的值。 4、已知下列各解析函数f(z)的实部u或虚部v，求该解析函数：
(1)u?exsiny; (2)u?ex(xcosy?ysiny),f(0)?0;
yx2?y2,f(2)?0; (4)u?2(3)v?2,f(?)?0; 222x?y(x?y)(5)u?x?y?xy,f(0)?0; (6)u?x?3xy,f(0)?0; (7)u?x?6xy?3xy?2y,f(0)?0; (8)u?x?6xy?y,f(0)?0; (9)u?3223422422322sin2x?,f()?0; (10)u?ln?,f(1)?0; 2y?2ye?e?2cos2x2(11)u??,f(1)?0.
5、由极坐标下柯希—里曼条件，证明极坐标下的拉普拉斯方程：
1??u1?u2(?)??0. ??????2??2
习题四
指出下列多值函数的支点及其阶数，能否画出里曼面？（a、b为复常数） （1）z?a; （2）(z?a)(z?b); （3）Lnz; （4）Ln(z?a). 一2 一
习题五
1，试画出其等温网。
z?2?iy2、已知流线族的方程为：?常数，求复势。
x1、已知复势f(z)?3、已知等势族的方程为：x2?y2?常数，求复势。 4、已知电力线为与实轴详相切于原点的圆族，求复势。
R，求柱面上的电荷密度。 z6、有两个平行而均匀带电的线电荷，每单位长度所带的电量分别是＋q和－q，两线相距2a，
5、在圆柱|z|?R的外部的平面静电场的复势为f(z)?i2?ln求这个平面静电场的复势、电力线和等势线。
习题六 1、计算积分2、计算积分
?1?i0(x?y?ix2)dz的值，积分路线为自原点到1?i的直线段。
?|z|dz的值，其中积分路线是：
c（1）连接－1与1的直线段； （2）连接－1与1且中心在原点的上半圆周； （3）连接－1与1且中心在原点的下半圆周。 3、求积分
1??1zdz，积分路径为：
1（1）沿|z|?1的上半半圆周； （2）沿|z|?1的下半圆周。 4、求积分
?2?i0Rezdz的值，积分路径为：
(0?t?1).
（1）沿直线段从0到2 ，再沿直线段从2到2?i；（2）沿直线段z?(2?i)t5、计算下列积分： （1）
11dz; （2）??|z|?1z??|z|?1|z|dz; 11|dz|; （4）??|z|?1z??|z|?1|z||dz|.
（3）
6、计算积分
z??|z|?1(2z?1)(z?2)dz.
一3 一
7、计算积分（1）|z|???sin2?c4dz,c为：
z?1z1; (2)|z?1|?1; (3) |z|?3. 2eiz8、计算积分??cz2?1dz,c为：
（1）|z?i|?1; (2)|z|?2; (3) |z?i|?|z?i|?22. 8、计算下列积分： （1）
coszsinzdz; （2）??|z|?2z??|z|?2z2dz;
1z2?1dz;（3）? （4）??|z|?2z2?2z?3dz; ?|z|?2z2?1|z|ez1dz;（5）? （6）??|z|?2z2(z2?16)dz; ?|z|?2z2ez(7) ??|z|?2z3dz.
习题七 1、 幂级数
?a(z?b)kk?0?k，试验证逐项求导或逐项积分并不改变幂级数的收敛半径。
2、 求下列幂级数的收敛圆：
?1zkk（1）?(z?i); （2）?();
k?1kk?1k?zkkk（3）?k!(); （4）?k(z?3).
kk?1k?1??3、在指定的点z?b的领域内，把下列函数展成泰勒级数：
2（1）Arctgz在z?0; （2）sinz、cos2z,在z?0；
（3）3z，在z?i; （4）Lnz，在z?i; （5）e11?zz，在z?0 （求出前四项）； （6）ln(1?e)，在t?0（求出前四项）； 1z（7）(1?z)，在z?0 （求出前四项）.
4、在奇点z?b的领域内或在指定的环域内，把下列函数展成罗朗级数：