1.1平面直角坐标系
一、教学目标 （一）核心素养
通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标
1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．
3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点
1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．
3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点
1．适当直角坐标系的选择．
2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点
P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测
11
（1）如何由正弦曲线y＝sin x经伸缩变换得到y＝2sin2x的图象( ) 11
A．将横坐标压缩为原来的2，纵坐标也压缩为原来的2 1
B．将横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的2倍 C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
1
D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的2 【知识点】伸缩变换
【解题过程】将正弦曲线y＝sin x的横坐标伸长为原来的2倍得到y?sin的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D
（2）在平面直角坐标系中，A,B两点分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝4，则AB中点P的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程
【数学思想】函数与方程的思想
【解题过程】 设A(m,0),B,(0,n)，则AB?m2?n2?16，再设线段AB中点P的坐标为(x,y)，则x?mn ,y?，m?2x,n?2y，所以4x2?4y2?16，即AB得中点的轨迹方程为x2?y2?4．
22211x，再由y?sinx22111即可得y＝2sin2x的图像． 2【思路点拨】由两点间距离公式表示出AB，再利用中点坐标公式建立线段AB的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】x2?y2?4．
?x??2x（3）在平面直角坐标系中，方程2x?4y?1对应的图形经过伸缩变换?后得到的图形对
??y?4y应的方程是（ ） A．2x??4y??1?0 C．4x??y??1?0 【知识点】伸缩变换
B．x??y??1?0 D．x??16y??1?0
1?x?x???x??2x2代入到方程2x?4y?1整理得x??y??1?0【解题过程】将?经过变形得?， 1?y??4y?y?y?4?1?x?x????通过对伸缩变换公式的变形为?【思路点拨】1，在代入原图形对应的方程，从而得到?y??y????变形后的图形对应的方程． 【答案】B
（4）将圆x2?y2?1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】
【解题思路】设(x1,y1)为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C上对应的点为(x,y)，依题
?x?x1y2y22222意，得?，而x1?y1?1，得x?()?1，所以曲线C的方程为x??1．
y?2y421?【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解
y2【答案】x??1
42(二)课堂设计 1．知识回顾
（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．
（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系． 2．问题探究
探究一 结合实例，感受坐标法思想★
例1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）
●活动① 实际问题抽象转化为数学问题
我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为A,B,C，爆炸点记为P.由于B,C同时听到由点P发出的响声，因此PB?PC，所以点P在线段BC的垂直平分线l上，由于点A听到的响声比B,C晚4s，所以PA?PB?4?340?1360?AB，说明点P在以点A,B为焦点的双曲线?上,所以点P在直线l与双曲线?的交点. 【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】
解:以信息中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系. 设A,B,C分别是东、西、北观测点,则A(1020,0),B(?1020,0),C(0,1020) 于是直线l的方程为 y??x
x2y2设双曲线?的方程是2?2?1(a?0,b?0)
ab由已知得a?680,c?1020,b2?10202?6802?5?3402 ,
x2y2于是双曲线?的方程是??1 226805?340将y??x代入上述方程,解得x??6805,y??6805,由已知,响声在双曲线?的左半支上,所以
P(?6805,6805),OP?68010
所以巨响发生在接报中心的西偏北45?距中心68010m处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北45?距中心68010m处.
同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想
【解题过程】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐