1 2 0.3 0.15 0.05 0.1 0 0.1 求(1) E(X).E(Y).D(X).D(Y). (2)cov(X,Y)及?XY.
解 容易求得X的概率分布为P{X?0}?0.3,P{X?1}?0.45,P{X?2}?0.25; Y的概率分布为P{Y??1}?0.55,P{Y?0}?0.25,P{Y?2}?0.2, 于是有
(1)E(X)?0?0.3?1?0.45?2?0.25?0.95,
E(X2)?02?0.3?12?0.45?22?0.25?1.45
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1.45?0.95?0.5
(2)E(Y)?(?1)?0.55?0?0.25?2?0.2??0.15.
E(XY)?0?(?1)?0.1?0?0?0.2?0?2?0?1?(?1)?0.3?1?0?0.5?1?2?0.1
?2?(?1)?0.15?2?0?0?2?2?0.1
于是
14、设随机变量X和Y相互独立, 且X~N(1,2),Y~N(0,1),试求
?0.
cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.95?0.15?0.1425.
Z?2X?Y?3的概率密度.
解 X~N(1,2),Y~N(0,1),且X与Y独立, 故X和Y的联合分布为正态分布, X和
Y的任意线性组合是正态分布, 即
Z~N(E(Z),D(Z)),
E(Z)?2E(X)?E(Y)?3?2?3?5, D(Z)?4D(X)?D(Y)?8?1?9, Z~N(5,32),
即Z的概率密度是fZ(z)?132?e?(z?5)218,???z???.
15、设X1,?,X6是来自总体N(0,1)的样本, 又设
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2,
试求常数C, 使CY服从?2分布.
解 因为X1?X2?X3~N(0,3)X4?X5?X6~N(0,3) X?X2?X3X?X5?X6所以 1~N(0,1),4~N(0,1), 且相互独立, 于是
33 17
?X1?X2?X3??X4?X5?X6?2?????????~?(2),
33????2211故应取C?, 则有Y~?2(2).
3316、设总体X服从标准正态分布, X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个简单随机样本, 试问统计量
?n?Y???1??5??i?15Xi2?Xi?6n2i,n?5
服从何种分布?
解 因为Xi~N(0,1),
?i?15Xi2~?(5),
2?Xi?6n2i~?2(n?5),
且
?Xi?152i与
?Xi?6n2i?X相互独立, 所以
i?152i5~F(5,n?5), 再由统计量Y的表达式,
?Xi?6n2i(n?5)即得Y~F(5,n?5).
17、设X~N(21,22),X1,X2,?,X25为X的一个样本。（??0.6??0.7257）
求:(1) 样本均值X的数学期望与方差; (2) P{|X?21|?0.24}. 解 (1) 由于X~N(21,22), 样本容量n?25, ?22?22??所以X~N?21,?, 于是E(X)?21,D(X)??0.42.
25?25?(2) 由X~N(21,0.42), 得
X?21~N(0,1), 0.4???X?21??0.6??2?(0.6)?1?0.4514. 故 P{|X?21|?0.24}?P????0.4?18、
在总体N(12,4)中随机抽取一容量为5的样本X1,X2,X3,X4,X5.求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率.
解因X122/5~N(0,1),故X122/552
P{|X12|1}1P{|X12|1}1P2[1(1.118)]2(10.8686)0.2628. 18