(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)?f(b), 那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使得f?????0.
七、(本题满分6分)
【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x的某个区间上导函数f??x??0,则函数f?x?单调递增,反之递减.
【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则
ab?c?p?b?aR?pQ?p(?c),R?(p)?. 2p?b?p?b?令R??0,得 p0?2abb?b?(a?bc)?0. cc当0?p?b(a?bc)时,R??0,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加. c 当p?b(a?bc)时,有R??0,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少. cb(a?bc)时,销售额R取得最大值,最大销售额为 c(2)由(1)可知,当p?Rmax
八、(本题满分6分) 【解析】令z????ab??a??(a?bc)2. ???b?c??c??ab?????c??ydydz?z?x. ,则
xdxdxdzdzdx?z?1?z2,即??,其通解为 dxx1?z2当x?0时,原方程化为z?xln(z?1?z2)??lnx?C1 或 z?1?z2?代回原变量,得通解y?C. xx2?y2?C(x?0).
当x?0时,原方程的解与x?0时相同,理由如下: 令t??x,于是t?0,而且
y?x2?y2y?x2?y2y?t2?y2dydydxdy. ????????dtdxdtdxx?xt
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22从而有通解y?t?y?C(t?0),即y?x2?y2?C(x?0).
综合得,方程的通解为y?x2?y2?C.
注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数z?y后得 xx2?y2?x1?z2, 从而,应当分别对x?0和x?0求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.
九、(本题满分8分)
【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为??3是A的特征值,故
3?100?13003?13?y?13E?A????8(2?y)?0,
003?y?1?13?1100?11所以y?2.
(2)由于A?A,要(AP)T(AP)?PTA2P??,而
T?1?0A2???0??0000?100?? 054??045?2T2T是对称矩阵,故可构造二次型xAx,将其化为标准形y?y.即有A与?合同.亦即
PTA2P??.
方法一：配方法.
2222由于 xTA2x?x1?x2?5x3?5x4?8x3x4
8162162222?x12?x2?5(x3?x3x4?x4)?5x4?x45255
4922?x12?x2?5(x3?x4)2?x4,55那么,令y1?x1,y2?x2,y3?x3?4x4,y4?x4,即经坐标变换 5 14
?000??x?11?100??y1??x??2?0?01?4?????y2?, ?x???3??x??05??y3?4????0001?????y?4?有 xTA2x?y222921?y2?5y3?5y4. ??1000??100??1所以,取 P??0??001?4??,有 (AP)T(AP)?PTA2P????5????0001??????方法二：正交变换法.
二次型xTA2x?x22221?x2?5x3?5x4?8x3x4对应的矩阵为
??1000?A2??0100???0054??, ?0045??其特征多项式
??1000?E?A2?0??10000??5?4?(??1)3(??9).
00?4??5A2的特征值?1?1,?2?1,?3?1,?4?9.由(?1E?A2)x?0,即
??0000???0000??x1????0?x0???00?4?4???2?x????,
3???00?4?4????x??0??4??0?和(?4E?A2)x?0,即
??8000??x1??0800?????0??x??20??004?4??x????,
3??00?44????x???0??4??0?分别求得对应?1,2,3?1的线性无关特征向量
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??5??. 9?5???1
?1?(1,0,0,0)T,?2?(0,1,0,0)T,?3?(0,0,1,?1)T,
和?4?9的特征向量?4?(0,0,1,1)T.
对?1,?2,?3用施密特正交化方法得?1,?2,?3,再将?4单位化为?4,其中：
?1?(1,0,0,0)T,?2?(0,1,0,0)T,?3?(0,0,取正交矩阵
11T11T,?),?4?(0,0,,). 2222?1?0??P???1,?2,?3,?4???0???0?010001210?20?0??1??, 2?1??2??1??1??, 则 P?1A2P?PTA2P???1???9???1??1?TT2?. 即 (AP)(AP)?PAP???1???9??
十、(本题满分8分)
【解析】证法1： (定义法)若有一组数k,k1,k2,,kt,使得
?kt(???t)?0, (1)
,t),用A左乘上式的两边,有
k??k1(???1)?k2(???2)?则因?1,?2,,?t是AX?0的解,知A?i?0(i?1,2,(k?k1?k2??kt)A??0. (2) ?kt?0. ?kt)??k1?1?k2?2??kt?t?0.
,kt?0.
?kt?t?0. (3)
由于A??0,故k?k1?k2?对(1)重新分组为(k?k1?k2?把(2)代入(3)得 k1?1?k2?2?由于?1,?2,
,?t是基础解系,它们线性无关,故必有k1?0,k2?0,16