（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC?3a． 4csinAsin(120o?C)31由正弦定理得a????．
sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0o?A?90o，0o?C?90o，由（1）知A?C?120o，所以30o?C?90o，故
331． ?S△ABC??a?2，从而822
?33?,因此，△ABC面积的取值范围是??82??． ??19.（2019全国卷Ⅲ·理）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面
图形，其中AB?1，BE?BF?2，?FBC?60o．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC?平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小． 【解析】（1）由已知得ADPBE，CGPBE， 所以ADPCG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC， 所以平面ABC?平面BCGE． （2）作EH?BC，垂足为H．
因为EH?平面BCGE，平面BCGE?平面ABC， 所以EH?平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，?EBC?60o，可求得BH?1，EH?3．
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uuur以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz， uuuruuur则A(?1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0,3)，CG?(1,0,3)，AC?(2,?1,0)．
设平面ACGD的法向量为n?(x,y,z)，则 uuur?CG?n?0,??x?3z?0,?即? r?uuu??2x?y?0.?AC?n?0,?所以可取n?(3,6,?3)．
又平面BCGE的法向量可取为m?(0,1,0)， 所以cos |n||m|2因此二面角B-CG-A的大小为30o． 20.（2019全国卷Ⅲ·理）已知函数f(x)?2x3?ax2?b． （1）讨论f(x)的单调性； （2）是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1?若存在，求 出a，b的所有值；若不存在，说明理由． （1）f?(x)?6x2?2ax?2x(3x?a)， a， 3?a?若a?0，则当x?(??,0)U?,???时，f?(x)?0； ?3?令f?(x)?0，得x?0或x??a?当x??0,?时，f?(x)?0， ?3??a??a?故f(x)在(??,0)，?,???单调递增，在?0,?单调递减； ?3??3?若a?0，f(x)在(??,??)单调递增； a??若a?0，则当x????,?U(0,??)时，f?(x)?0； 3???a?当x??,0?时，f?(x)?0， ?3?a???a?故f(x)在???,?，(0,??)单调递增，在?,0?单调递减． 3???3?（2）满足题设条件的a，b存在． （i）当a?0时，由（1）知，f(x)在[0,1]单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)?b，最大值为f(1)?2?a?b． 46 此时a，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，即a?0，b??1． （ii）当a?3时，由（1）知，f(x)在[0,1]单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)?b，最小值为f(1)?2?a?b． 此时a，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b?1，即a?4，b?1． a3?a??b，最大值为b或（iii）当0?a?3时，由（1）知，f(x)在[0,1]的最小值为f????27?3?2?a?b． a3若??b??1，b?1，则a?332，与0?a?3矛盾． 27a3若??b??1，2?a?b?1，则a?33或a??33或a?0，与0?a?3矛盾． 27综上，当且仅当a?0，b??1或a?4，b?1时， f(x)在[0,1]的最小值为?1，最大值为1． x2121.（2019全国卷Ⅲ·理）已知曲线C：y?，D为直线y??上的动点，过D作C22的两条切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点； ?5?（2）若以E?0,?为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形 ?2?ADBE的面积． 1??2?2y1． 【解析】（1）设D?t,??，A(x1,y1)，则x12??12?x． 由于y??x，所以切线DA的斜率为x1，故1x1?ty1?整理得2tx1?2y1?1?0． 设B(x2,y2)，同理可得2tx2?2y2?1?0． 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0． ?1?所以直线AB过定点?0,?． ?2?（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?1?y?tx?,?2?由?可得x2?2tx?1?0． 2?y?x?2?1． 2于是x1?x2?2t，x1x2??1，y1?y2?t(x1?x2)?1?2t2?1， 47 AB?1?t2x1?x2?1?t2?(x1?x2)2?4x1x2?2(t2?1)． 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1?t2?1，d2?1AB(d1?d2)?(t2?3)t2?1． 21??设M为线段AB的中点，则M?t,t2??． 2??uuuuruuuuruuuruuur由于EM?AB，而EM?(t,t2?2)，AB与向量(1,t)平行， 2t?12． 因此，四边形ADBE的面积S?所以t?(t2?2)t?0，解得t?0或t??1． 当t?0时，S?3；当t??1时，S?42． 因此，四边形ADBE的面积为3或42． π?3π???22.（2019全国卷Ⅲ·理）如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B?2,?，C?2,?， 4?4????π?D(2,π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，?1,?，(1,π)，曲线M1是弧 ?2?AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD． （1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程； （2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且OP?3，求P的极坐标． 【解析】（1）由题设可得，弧AB，??2sin?，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?， ???2cos?． π??所以M1的极坐标方程为??2cos??0????， 4??3π??π， M2的极坐标方程为??2sin?????4??4??3π????π?． M3的极坐标方程为???2cos???4?48