由当2x2
+2x≥ 时满足题意,解得x≤-2或x≥ . 故x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).
17.(2018浙江临安模拟)已知函数f(x)=|2x+b|+|2x-b|. (1)若b=1,解不等式f(x)>4.
(2)若不等式f(a)>|b+1|对任意的实数a恒成立,求b的取值范围. 解(1)∵函数f(x)=|2x+b|+|2x-b|,
∴b=1时,不等式f(x)>4即|2x+1|+|2x-1|>4,
它等价于 -
,
或 ,
或 - , - ,
解得x>1或x<-1或x∈?;
故不等式f(x)>4的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)∵f(a)=|2a+b|+|2a-b|=|2a+b|+|b-2a|≥|(2a+b)+(b-2a)|=|2b|, 当且仅当(2a+b)(b-2a ≥0时f(a)取得最小值|2b|;
∴令|2b|>|b+1|,得(2b)2>(b+1)2,
解得b<-
或b>1.
∴b的取值范围是 -∞,-
(1,+∞).
18.(2018浙江杭州学军中学高三模拟)已知函数f(x)=ax2
+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤ . (1)求证:|b|≤ ;
(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.
(1)证明由题意知f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,所以b=
[f(1)-f(-1)].
因为当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤ , 所以|f(1)|≤ ,|f(-1)|≤ ,
所以|b|=
|f(1)-f(-1)| [|f(1)|+|f(-1)|]≤ . (2)解由f(0)=-1,f(1)=1可得c=-1,b=2-a,
所以f(x)=ax2
+(2-a)x-1.
当a=0时,不满足题意,当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为x=- ,即x=
因为x∈[-1,1]时,|f(x)|≤ ,
即|f(-1)|≤ ,所以|2a-3|≤ ,解得 ≤a≤ .
所以- 0.所以 -
- +(2-a)
- - 1, 整理得
-
1.所以-1
-
+ ≤ .
5
所以-2 所以
-
-
0.又a>0,所以
-
0.
=0,所以a=2.
6