解答： 解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴， ∵AM=BM， ∴点M为AB的中点， ∵MC⊥x轴，MD⊥y轴， ∴MC∥OB，MD∥OA， ∴点C和点D分别为OA与OB的中点， ∴MC=MD， 则点M的坐标可以表示为（﹣a，a）， 把M（﹣a，a）代入函数y=中， 解得a=2， 则点M的坐标为（﹣2，2）； （2）∵则点M的坐标为（﹣2，2∴MC=2，MD=2， ∴OA=OB=2MC=4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把点A（﹣4，0）和B（0，4）， ）分别代入y=kx+b中得， 解得：． ． 则直线AB的解析式为y=x+4 点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20．（9分）（2013?珠海）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式
2
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
4
2
2
2
解：由分母为﹣x+1，可设﹣x﹣x+3=（﹣x+1）（x+a）+b
422242242
则﹣x﹣x+3=（﹣x+1）（x+a）+b=﹣x﹣ax+x+a+b=﹣x﹣（a﹣1）x+（a+b） ∵对应任意x，上述等式均成立，∴
，∴a=2，b=1
2
∴==x+2+
这样，分式解答：
被拆分成了一个整式x+2与一个分式
2
的和．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 考点： 分式的混合运算． 专题：阅读型． 3481324的最小值为8．
[来源学。科。网]分析： （1）由分母为﹣x+1，可设﹣x﹣6x+8=（﹣x+1（）x+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）对于x+7+2224222当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，于是求出4222的最小值． 解答： 解：（1）由分母为﹣x+1，可设﹣x﹣6x+8=（﹣x+1）（x+a）+b 422242242则﹣x﹣6x+8=（﹣x+1）（x+a）+b=﹣x﹣ax+x+a+b=﹣x﹣（a﹣1）x+（a+b） ∵对应任意x，上述等式均成立， ∴， ∴a=7，b=1， ∴===x+7+2 这样，分式 （2）由被拆分成了一个整式x+7与一个分式2的和． =x+7+2知， 对于x+7+2当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8， 即的最小值为8． 点评： 本题主要考查分式的混合运算等知识点，解答本题的关键是能熟练的理解题意，此题难度不是很大． 21．（9分）（2013?珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当
，BP′=5
时，求线段AB的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 3481324分析： （1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可； （2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证； （3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可． 解答： （1）证明：∵AP′是AP旋转得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠ABP； （2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中，∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵=， ， ∴设CP=3k，PE=2k， 则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在Rt△AEP′中，P′E==4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°， ∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠P′PE， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴即==， ， 解得P′A=AB， 在Rt△ABP′中，AB+P′A=BP′， 即AB+AB=（5解得AB=10． 22222）， 2 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键． 22．（9分）（2013?珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）． （1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
考点： 二次函数综合题． 3481324分析： （1）设抛物线l的解析式为y=ax+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可； （3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解． 2解答： 解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax+bx+c， 将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入， 2得，解得2， 所以抛物线l的解析式为y=﹣x+2mx+m； （2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N． ∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处， ∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO， ∵矩形OABC中，AD∥OC， ∴∠ADO=∠DOM， ∴∠A′DO=∠DOM， ∴DM=OM． 设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x， 222在Rt△OA′M中，∵OA′+A′M=OM， 222∴m+（2m﹣x）=x， 解得x=m． ∵S△OA′M=OM?A′N=OA′?A′M， ∴A′N==m， ∴ON==m， ∴A′点坐标为（m，﹣m）， 易求直线OA′的解析式为y=﹣x， 当x=4m时，y=﹣×4m=﹣3m， ∴E点坐标为（4m，﹣3m）． 当x=4m时，﹣x+2mx+m=﹣（4m）+2m?4m+m=﹣8m+m， 2即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m+m）， ∵抛物线l与线段CE相交， ∴﹣3m≤﹣8m+m≤0， ∵m＞0， ∴﹣3≤﹣8m+1≤0， 解得≤m≤； （3）∵y=﹣x+2mx+m=﹣（x﹣m）+m+m，≤m≤， ∴当x=m时，y有最大值m+m， 又∵m+m=（m+）﹣， ∴当≤m≤时，m+m随m的增大而增大， ∴当m=时，顶点P到达最高位置，m+m=（）+=， 故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）． 2222222222222 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键．