再由模糊集G和H求出r2所表示的模糊关系R2m, R2c, R2g 再由模糊集F和H求出r3所表示的模糊关系R3m, R3c, R3g 然后再将R1m, R1c, R1g分别与R2m, R2c, R2g合成得R12 m, R12c, R12g 最后将R12 m, R12c, R12g分别与R3m, R3c, R3g比较
第7章
7-6 设训练例子集如下表所示：
序号 1 2 3 4 5 6 属性 x1 T T T F F F x2 T T F F T T 分类 + + - + _ _ 机器学习参考答案
请用ID3算法完成其学习过程。
解：设根节点为S，尽管它包含了所有的训练例子，但却没有包含任何分类信息，因此具有最大的信息熵。即：
H(S)= - (P(+)log2 P(+) + P(-)log2 P(-))
式中
P(+)=3/6，P(-)=3/6
分别是决策方案为“+”或“-”时的概率。因此有
H(S)= - ((3/6)log2(3/6) + (3/6)log2(3/6)) =1
按照ID3算法，需要选择一个能使S的期望熵为最小的一个属性对根节点进行扩展，因此我们需要先计算S关于每个属性的条件熵：
H(S|xi)= ( |ST| / |S|)* H(ST) + ( |SF| / |S|)* H(SF)
其中，T和F为属性xi的属性值，ST和SF分别为xi=T或xi=F时的例子集，|S|、| ST|和|SF|分别为例子集S、ST和SF 的大小。
下面先计算S关于属性x1的条件熵： 在本题中，当x1=T时，有： ST={1，2，3} 当x1=F时，有：
SF={4，5，6}
其中，ST 和SF中的数字均为例子集S中的各个例子的序号，且有|S|=6，| ST |=| SF |=3。
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由ST可知，其决策方案为“+”或“-”的概率分别是： PST(+)=2/3
PST (-)=1/3
因此有：
H(ST)= - (PST (+)log2 PST (+) + PST (-)log2 PST (- ))
= - ((2/3)log2(2/3) + (1/3)log2(1/3)) =0.9183
再由SF可知，其决策方案为“+”或“-”的概率分别是： PSF (+)=1/3
PSF (-)=2/3
则有：
H (SF)= - (PSF (+)log2 PSF (+) + PSF (-)log2 PSF (- ))
= - ((1/3)log2(1/3)+ (2/3)log2(2/3)) =0.9183
将H(ST)和H (SF)代入条件熵公式，有：
H(S|x1)=(|ST|/|S|)H(ST)+ (|SF|/|S|)H(SF) =(3/6)﹡0.9183 + (3/6)﹡0.9183
=0.9183
下面再计算S关于属性x2的条件熵： 在本题中，当x2=T时，有： ST={1，2，5，6} 当x2=F时，有：
SF={3，4}
其中，ST 和SF中的数字均为例子集S中的各个例子的序号，且有|S|=6，| ST |=4，| SF |=2。
由ST可知： PST (+) = 2/4
P ST (-) = 2/4
则有：
H(ST)= - (P ST (+)log2 P ST (+) + P ST (-)log2 P ST (- ))
= - ((2/4)log2(2/4) + (2/4)log2(2/4)) =1
再由SF可知： P SF (+)=1/2
P SF (-)=1/2
则有：
H(SF)= - (P(+)log2 P(+) + P(-)log2 P(- ))
= - ((1/2)log2(1/2)+ (1/2)log2(1/2)) =1
将H(ST)和H (SF)代入条件熵公式，有：
H(S|x2)=(|ST|/|S|)H(ST)+ (|SF|/|S|)H(SF)
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=(4/6)﹡1 + (2/6)﹡1
=1
可见，应该选择属性x1对根节点进行扩展。用x1对S扩展后所得到的部分决策树如下图所示。
x1=T (+,+,-) S x1=F (+,-,-) 扩展x1后的部分决策树
在该决策树中，其2个叶节点均不是最终决策方案，因此还需要继续扩展。而要继续扩展，只有属性x2可选择，因此不需要再进行条件熵的计算，可直接对属性x2进行扩展。
对x2扩展后所得到的决策树如下图所示：
x1=T (+,+,-) x2=T (+,+) S x2=F (+,-,-) x2=F x2=T (-) (-,-) x2=F (+)
7-9假设w1(0)=0.2, w2(0)=0.4, θ(0)=0.3, η=0.4，请用单层感知器完成逻辑或运算的学习过程。 解：根据“或”运算的逻辑关系，可将问题转换为： 输入向量：X1=[0, 0, 1, 1] X2=[0, 1, 0, 1] 输出向量：Y=[0, 1, 1, 1]
由题意可知，初始连接权值、阈值，以及增益因子的取值分别为： w1(0)=0.2, w2(0)=0.4, θ(0)=0.3，η=0.4
即其输入向量X(0)和连接权值向量W(0)可分别表示为： X(0)=(-1, x1 (0), x2 (0))
W(0)=(θ(0), w1(0), w2 (0))
根据单层感知起学习算法，其学习过程如下：
设感知器的两个输入为x1(0)=0和x2(0)=0，其期望输出为d(0)=0，实际输出为：
y(0)=f(w1(0) x1(0)+ w2(0) x2(0)-θ(0)) =f(0.2*0+0.4*0-0.3)=f(-0.3)=0 实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。
再取下一组输入：x1(0)=0和x2(0)=1，其期望输出为d(0)=1，实际输出为：
y(0)=f(w1(0) x1(0)+ w2(0) x2(0)-θ(0)) =f(0.2*0+0.4*1-0.3)=f(0.1)=1
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扩展x2后得到的完整决策树
实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。
再取下一组输入：x1(0)=1和x2(0)=0，其期望输出为d(0)=1，实际输出为：
y(0)=f(w1(0) x1(0)+ w2(0) x2(0)-θ(0)) =f(0.2*1+0.4*0-0.3)
=f(-0.1)=0
实际输出与期望输出不同，需要调节权值，其调整如下：
θ(1)=θ(0)+η(d(0)- y(0))*(-1)=0.3+0.4*(1-0)*(-1)= -0.1 w1(1)=w1(0)+η(d(0)- y(0))x1(0)=0.2+0.4*(1-0)*1=0.6 w2(1)=w2(0)+η(d(0)- y(0))x2(0)=0.4+0.4*(1-0)*0=0.4
再取下一组输入：x1(1)=1和x2(1)=1，其期望输出为d(1)=1，实际输出为：
y(1)=f(w1(1) x1(1)+ w2(1) x2(1)-θ(1)) =f(0.6*1+0.4*1+0.1)
=f(1.1)=1
实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。
再取下一组输入：x1(1)=0和x2(1)=0，其期望输出为d(0)=0，实际输出为：
y(1)=f(w1(1) x1(1)+ w2(1) x2(1)-θ(1)) =f(0.6*0+0.4*0 + 0.1)=f(0.1)=1 实际输出与期望输出不同，需要调节权值，其调整如下：
θ(2)=θ(1)+η(d(1)- y(1))*(-1)= -0.1+0.4*(0-1)*(-1)= 0.3 w1(2)=w1(1)+η(d(1)- y(1))x1(1)=0.6+0.4*(0-1)*0=0.6 w2(2)=w2(1)+η(d(1)- y(1))x2(1)=0.4+0.4*(0-1)*0=0.4
再取下一组输入：x1(2)=0和x2(2)=1，其期望输出为d(2)=1，实际输出为：
y(2)=f(w1(2) x1(2)+ w2(2) x2(2)-θ(2)) =f(0.6*0+0.4*1 - 0.3)=f(0.1)=1 实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。
再取下一组输入：x1(2)=1和x2(2)=0，其期望输出为d(2)=1，实际输出为：
y(2)=f(w1(2) x1(2)+ w2(2) x2(2)-θ(2)) =f(0.6*1+0.4*0 - 0.3)=f(0.3)=1 实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。
再取下一组输入：x1(2)=1和x2(2)=1，其期望输出为d(2)=1，实际输出为：
y(2)=f(w1(2) x1(2)+ w2(2) x2(2)-θ(2)) =f(0.6*1+0.4*1 - 0.3)=f(0.7)=1 实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。
至此，学习过程结束。最后的得到的阈值和连接权值分别为：
θ(2)= 0.3 w1(2)=0.6 w2(2)= 0.4 不仿验证如下：
对输入：“0 0”有y=f(0.6*0+0.4*0-0.3)=f(-0.3)=0 对输入：“0 1”有y=f(0.6*0+0.4*1-0.3)=f(0.1)=1
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